04. Множества точек на комплексной плоскости. задание геометрических мест

При решении геометрических задач используется геометрический смысл модуля комплексного числа, его аргумента, геометрический смысл введенных алгебраических операций и пр. Приведем конкретные примеры.

Пример 1. Какое множество точек на плоскости (z) определяется условием

Решение. Имеем и, стало быть, . По условию или . Последнее неравенство определяет множество точек в первом и третьем квадрантах, соответственно над и под гиперболой (см. рис.6).

Пример 2. Какое множество точек на плоскости (Z) определяется условием ?

Решение. Комплексное число изображается вектором, началом которого является точка –1+I и концом – точка z. Угол между этим вектором и осью Ox есть , и он меняется в пределах от до . Следовательно, данное неравенство определяет угол между прямыми, выходящими из точки –1+ I и образующими с осью Ox углы в и
(рис.7).

Пример 3. Какая кривая задается уравнением , где C и A – действительные положительные числа, причем A >C.

Решение. Модуль Есть расстояние между точками Z и – C; - расстояние между точками Z и C. По условию сумма расстояний от точки Z до двух данных точек -C и C есть величина постоянная. Значит, точка Z лежит на эллипсе. Уравнение этого эллипса имеет вид , где
(рис.8).

Пример 4. Какая кривая определяется уравнением ?

Решение. Имеем (см.(1.9)) . По условию или - это окружность (рис.9).

Пример 5. Написать в комплексной форме уравнение прямой .

Решение. Подставляя X и Y по формуле (1.9) в уравнение прямой, получим , или . Обозначив , получим уравнение: - уравнение прямой в комплексной форме.

Задачи для самостоятельного решения

1. Доказать следующие соотношения:

А) ; б) ; в) ; г) .

2. Найти:

А) ; б) ; в) ; г) ; д) .

3. Найти действительные решения уравнений:

А) ;

Б) , где A, B – заданные действительные числа, ;

В) .

4. Представить комплексное число в алгебраической форме.

5. Вычислить (X- действительное число).

6. Выделить X и Y через U и V (X,…,V – действительные числа), если .

7. Найти все числа, удовлетворяющие условию .

8. Решить системы уравнений:

А) б)

В) г)

9. Найти модуль и главное значение аргумента комплексного числа. Записать число в тригонометрической и показательной формах:

А) –2; б) 2I; в) ; г) –Z - I; д) 4-3I; е)
ж) ; з) ;

И) .

10. Вычислить:

А) ; б) ; в) ; г) ;

Д) .

11. Найти все значения корней:

А) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ;

Ж) ; з) ; и); к) ; л) ; м) .

12. Решить квадратные уравнения:

А) ; б) ;

В) .

13. Решить уравнения:

А); б) ; в) ;

Г) ; д) .

14. Найти множества точек на плоскости (Z), определяемые заданными условиями:

А) ; б) ; в) ; г) ;

Д) ; е) ; ж) ;

з) .

15. Какие линии определяются следующими уравнениями:

А) ; б) ; в) ;

Г) ; д) ; е) ; ж) .

16. Написать в комплексной форме уравнение следующих линий:

А) координатных осей Ox и Oy; б) прямой Y = X; в) прямой , - действительные числа; г) гиперболы ; д) окружности .

< Предыдущая		Следующая >