14. Степенные, сводящиеся к ним и двусторонние ряды

Определение 1. Ряд вида

, (5.3)

Где ,…-комплексные постоянные, а Z- комплексная переменная, называется степенным рядом в комплексной области.

Определение 2. Ряд вида

(5.4)

Называется степенным рядом общего вида.

Определение 3. Ряд вида

(5.5)

Называется рядом, сводящимся к степенному общего вида.

Определение 4. Двусторонним называется ряд вида

. (5.6)

Область сходимости степенного ряда (5.1) есть круг с центром в начале координат: , где R – радиус сходимости. В некоторых случаях он может быть определен по формулам

(5.7)

Для рядов (5.4) областью сходимости служит круг . Область сходимости ряда (5.5) ищется после проведения замены: . Ряд вида (5.6) сходится в области, в которой сходятся ряды

(5.8)

(5.9)

Пусть ряд (5.8) сходится в области , то есть вне круга с центром в точке и радиуса R, а ряд (5.9) в круге . Тогда, если 1) , то ряд (5.6) расходится всюду; 2) , то ряд (5.6) сходится в кольце . Здесь , .

Пример 1. Найти радиус сходимости степенного ряда .

Решение. Находим модуль коэффициента . Применяя формулу б) из (5.7), найдем .

Пример 2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Имеем , и . Следовательно, ряд сходится в области , то есть вне круга с центром в точке радиуса .

Пример 3. Определить область сходимости ряда .

Решение. Для ряда имеем , . Следовательно, . Первый ряд сходится в области . Для степенного ряда имеем , . Его радиус сходимости , то есть второй ряд сходится в области . Данный ряд расходится всюду.

Пример 4. Определить область сходимости ряда .

Решение. Для первого из рядов имеем , . Следовательно, . Первый ряд сходится в области . Для второго ряда имеем , . Радиус его сходимости - он сходится в области . Таким образом. Данный ряд сходится в кольце : .

< Предыдущая		Следующая >