15. Ряды Тейлора и Лорана

1°. Ряд Тейлора. Функция однозначная и аналитическая в точке разлагается (то есть является суммой) в окрестности этой точки в степенной ряд – ряд Тейлора

, (5.10)

Где коэффициенты вычисляются по формулам

, (5.11)

Где Г – окружность с центром в точке , целиком лежащая в области аналитичности . Областью сходимости ряда является круг с центром в точке разложения радиуса R, равном расстоянию от центра разложения до ближайшей осо бой точки – точки, в которой теряет аналитичность.

Теорема Тейлора. Функция , аналитическая в круге однозначно представима в нем своим рядом Тейлора (5.10), коэффициенты которого определяются по формулам (5.11).

Из этой теоремы и теоремы о возможности дифференцирования степенного ряда в круге сходимости любое число раз следует, что разложение функции в степенной ряд единственно. Это означает, что по любому методу разложения функции в степенной ряд мы получаем одно и то же разложение – ряд Тейлора. При ряд (5.10) называется рядом Маклорена.

При решении многих задач рекомендуется пользоваться следующими разложениями элементарных функций:

1) , ; 2) , ;

3) ,; 4) , ; (5.12)

5) , ; 6) ,

, ; 7) ;

8) .

Для непосредственного разложения функции в степенной ряд (ряд Тейлора), необходимо найти закон получения производной N-го порядка (подобные примеры опустим).

Пример 1. Разложить в ряд по степеням функцию .

Решение. Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции . Воспользуемся разложением 4) из (5.12) для , полагая . Так как разложение 4) имеет место при , то наше разложение будет иметь место при . Таким образом, для : .

Часто при разложении функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби – разложением ее на простейшие.

Пример 2. Разложить в ряд по степеням Z функцию .

Решение. Разложим на простейшие дроби: . По формуле суммы геометрической прогрессии 7) из (5.12) получим:

, и ,

. Замечая, что и применяя теорему о возможном почленном дифференцировании степенного ряда в круге сходимости, получим , . Складывая ряды для и , имеем , .

2°. Ряды Лорана.

Определение. Рядом Лорана называется ряд (5.6)

; (5.6)

При этом ряд называется главной частью ряда Лорана, а ряд - правильной частью. Если , то областью сходимости ряда (5.6) является кольцо .

Теорема Лорана. Если функция аналитична в кольце , то в этом кольце она единственным образом представима в виде ряда Лорана (5.6), коэффициенты которого вычисляются по формулам:

(5.13)

Заметим, что из этой теоремы “кольца разложимости” определяются через расстояния от центра разложения до двух “соседних” особых точек . Вычисление контурных интегралов (5.14), как правило, достаточно затруднительно. Поэтому для разложения функций в ряды Лорана используются различные искусственные приемы.

Пример 1. Разложить в ряд Лорана в кольце функцию .

Решение. Преобразуем данную функцию:

. (1)

Первые два слагаемых в правой части (1) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности . Последние два слагаемых запишем в виде: , . Применяя формулу 7), а затем 8) (из (5.12)), найдем

, (2)

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), после несложных преобразований получим разложение в кольце в ряд Лорана:

.

Пример 2. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности .

Решение. Для любого комплексного имеем
Полагая , получим: . Это разложение справедливо для любой точки . В данном случае “кольцо” представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой : .

Пример 3. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции .

Решение. Функция имеет две особые точки: и . Следовательно, имеется три “кольца” с центром в точке , в каждом из которых является аналитической: а) круг ; б) кольцо ; в) - внешность круга . Найдем ряды Лорана для функции В каждом из этих “колец”. Представим предварительно функцию в виде суммы простейших дробей: (1). а)разложение в круге . Преобразуем (1) следующим образом: (2). Используя формулу 7) из (5.12), получим: , (3); , (4). Подставляя эти разложения в (2), получим: - это разложение есть ряд Маклорена функции . б) разложение в кольце . Ряд (4) для функции остается сходящимся в этом кольце, так как . Ряд (3) для функции расходится для . Поэтому преобразуем следующим образом:
(5). Применяя формулу 7), получим: (6). Этот ряд сходится, если , то есть при . Подставляя (4) и (6) в (5), найдем . в) разложение для . Ряд (4) для функции при расходится, а ряд (6) для функции будет сходиться, так как, если , то и подавно . Функцию представим в таком виде . Используя формулу 7), получаем . Заметим, что этот пример показывает, что для одной и той же функции ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

Пример 4. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Решение. Особые точки функции: . а) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Представим функцию в виде суммы простейших дробей: . Правую часть преобразуем так: . Применяя разложение 7), в котором Z Заменим на , получим или . б) разложение в окрестности точки , то есть в кольце . Имеем .

< Предыдущая		Следующая >