12. Теорема Коши. Интегральные формулы Коши

Теорема Коши. Если функция аналитична в односвязной области, ограниченной контуром Г и -замкнутый контур в D, то

. (4.7¢)

Если, дополнительно, функция непрерывна в замкнутой области , то

(4.7)

-теорема Коши для односвязной области.

Если функция аналитична в многосвязной области D, ограниченной внешним контуром Г и внутренними и непрерывна в замкнутой области , то (контур обходится в положительном направлении)

(4.8)

-теорема Коши для многосвязной области. Дадим другую формулировку этой теоремы:

(4.9)

- интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по внутренним контурам (все контуры проходятся в одном и том же направлении).

Если аналитична в области D, и – контур, охватывающий точку , то справедлива интегральная формула Коши

. (4.10)

При этом функция имеет всюду в D производные любого порядка, для которых справедливы формулы

. (4.11)

Пример 1. Вычислить .

Решение. Внутри окружности знаменатель дроби обращается в нуль в точке . Для применения формулы (4.10) перепишем интеграл в виде . Здесь и аналитична в круге . Тогда .

Пример 2. Вычислить по а) контуру Г: ;
б) Г: .

Решение. а) в круге функция аналитична; следовательно, по теореме (4.7) ; б) так как внутри контура интегрирования знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль в точках и , то для того, чтобы стало возможным применить формулы (4.10) и (4.11), рассмотрим многосвязную область D (см. рис.11),

Ограниченную окружностью и внутренними контурами и . Тогда в D функция является аналитической, и по теореме (4.9) можно записать: . Для вычисления интегралов справа применим формулы (4.10) и (4.11):
; и, таким образом, .