4.3. Решение задач

Пример 1. Определить вероятность того, что выбранное наудачу изделие является первосортным, если известно, что 4 % всей продукции является браком, а 75 % небракованных изделий удовлетворяют требованиям первого сорта.

Решение. Пусть событие A={выбранное изделие небракованное}, событие B={небракованное изделие удовлетворяет требованиям первого сорта}, событие C={выбранное наудачу изделие первосортное}. Событие C предоставляет собой произведение событий A и B: C=AB. По условию , . Тогда по теореме умножения вероятностей (см. 2.1) искомая вероятность .

Пример 2. В первом ящике 2 белых и 10 красных шаров; во втором ящике 8 белых и 4 красных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. В данном случае речь идет о совмещении событий A и B, где событие A={появление белого шара из первого ящика}, событие B={появление белого шара из второго ящика}. При этом A и B – независимые события. Имеем , . По теореме умножения для независимых событий (см. (6)) находим .

Пример 3. На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?

Решение. Пусть событие ={выигрыш по -му билету}, =1, 2, 3, 4. События - совместные, но зависимые.

А) По формулам (8) и (4) вероятность выигрыша хотя бы по одному из двух билетов

Б) по формулам (9) и (5) вероятность выигрыша хотя бы по одному из четырех билетов

Пример 4. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,75, при втором – 0,8, при третьем – 0,9. Определить вероятность того, что будет: а) три попадания; б) хотя бы одно попадание.

Решение. А) Пусть событие A состоит в том, что будет три попадания в цель. Событие A представляет собой произведение трех событий: , где - попадание в цель при -м выстреле, . События - независимые. По теореме умножения для независимых событий (см. (7)) .

Б) Пусть событие B состоит в том, что будет хотя бы одно попадание в цель при трех выстрелах (т. е. не менее одного попадания в цель). Событие - сложное событие. События - совместные, а потому использовать аксиому сложения для вычисления вероятности события B нельзя. Представим событие B в виде суммы несовместных событий (вариантов):

.

По теореме умножения для независимых событий можно найти вероятность каждого варианта и все эти вероятности сложить в соответствии с аксиомой сложения. Однако такой путь решения задачи слишком сложен. Целесообразнее от события B перейти к противоположному событию ={нет ни одного попадания в цель при трех выстрелах}. Учитывая, что событие , по теореме умножения для независимых событий (см. (7)), найдем , откуда .

На этом примере проиллюстрирован принцип целесообразности применения противоположных событий в теории вероятностей.

Пример 5. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,3, второй – 0,4, третий -0,5. По условиям приема события, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент вообще услышит вызов.

Решение. Пусть событие ={принят корреспондентом -й вызов}, =1, 2, 3. События совместные и независимые. По условию ; ; . Событие B={корреспондент вообще услышит вызов}: . Найдем вероятность события B. Для этого от события B перейдем к противоположному событию {корреспондент не услышит вызов}: , воспользовавшись формулой (9), найдем:

Пример 6. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0,9; второй – 0,9, третий – 0,8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только 2-й экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Решение. а) Обозначим события: = {студент сдаст -й экзамен}, 1,2,3; B = {студент сдаст только 2-й экзамен из трех}. Очевидно, что событие B представляет собой совместное наступление трех событий, состоящих в том, что студент сдаст 2-й экзамен и не сдаст 1-й и 3-й экзамены, т. е. . Учитывая, что события независимы, получим .

Б) Пусть событие C = {студент сдаст один экзамен из трех}. Очевидно, что событие C можно представить в виде суммы трех несовместных событий: .

По аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий .

В) Пусть событие E = {студент сдаст все три экзамена}, т. е. . Тогда по формуле (7) .

Г) Пусть событие F = {студент сдаст, по крайней мере, два экзамена} (т. е. хотя бы два экзамена или не менее двух экзаменов). Ясно, что событие F означает сдачу любых двух экзаменов из трех, либо всех трех экзаменов. Представим событие F в виде суммы несовместных событий: .

Тогда по аксиоме сложения и теореме умножения для независимых событий найдем .

Д) Пусть событие K – студент сдал хотя бы один экзамен (т. е. не менее одного экзамена). От прямого события K перейдем к противоположному событию и воспользуемся формулой (2.7). Тогда

Т. е. сдача хотя бы одного экзамена из трех является событием практически достоверным.

< Предыдущая		Следующая >