03. Линейные действия над матрицами и их свойства

Определение 11

Числовой матрицей (матрицей) размера будем называть прямоугольную таблицу чисел, содержащую строк и столбцов, и обозначать или .

Матрица , содержащая один столбец, называется столбцом.

Матрица , содержащая одну строку, называется строкой.

Столбцы и строки будем обозначать как векторы - .

Пример №10. Матрица содержит свои элементы в 3-х строках и 3-х столбцах.

Обозначение: = или = ||, =1,2,3, =1,2,3

- обозначение элемента матрицы, расположенного в -й строке, и -м столбце, (=1,2,3, =1,2,3);

- индекс, указывающий номер строки;

- индекс, указывающий номер столбца.

Линейными действиями над матрицами называются операции сложения матриц, и умножения матрицы на число.

Определение 12

При сложение матриц и образуется матрица , каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц и .

Обозначение суммы матриц: = +

Где =||, =||, =||, = + , =1,…,n, =1,…,m.

Пример №11. + =

Определение 13

При умножении матрицы на образуется матрица , каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы на .

Обозначение произведения матрицы на число: =

Где =||, =||, = , =1,…,n, =1,…,m, .

Пример №12. 3 =

Определение 14

Линейной комбинацией столбцов с коэффициентами называется выражение вида:

=

Пример №13. Столбец = является линейной комбинацией столбцов = и = с коэффициентами 1, 2.

линейно выражается через и : = + 2 ó ==+2.

Аналогично вводится понятие линейной комбинации матриц с коэффициентами : = .

Линейные свойства матриц:

Пусть

=||, =||, =1,…,n, =1,…,m, , ,

Тогда:

1.A + B = B + A (коммутативность)

2.(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность)

3.(A + B) = A + B (дистрибутивность)

4.( +)A = A + A (дистрибутивность)

5.()A=(A) (ассоциативность)

< Предыдущая		Следующая >