03. Линейные действия над матрицами и их свойства
Определение 11
Числовой матрицей (матрицей) размера будем называть прямоугольную таблицу чисел, содержащую
строк и
столбцов, и обозначать
или
.
Матрица , содержащая один столбец, называется столбцом.
Матрица , содержащая одну строку, называется строкой.
Столбцы и строки будем обозначать как векторы - .
Пример №10. Матрица содержит свои элементы в 3-х строках и 3-х столбцах.
Обозначение: =
или
= |
|,
=1,2,3,
=1,2,3
- обозначение элемента матрицы, расположенного в
-й строке, и
-м столбце, (
=1,2,3,
=1,2,3);
- индекс, указывающий номер строки;
- индекс, указывающий номер столбца.
Линейными действиями над матрицами называются операции сложения матриц, и умножения матрицы на число.
Определение 12
При сложение матриц и
образуется матрица
, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц
и
.
Обозначение суммы матриц: =
+
Где =|
|,
=|
|,
=|
|,
=
+
,
=1,…,n,
=1,…,m.
Пример №11. +
=
Определение 13
При умножении матрицы на
образуется матрица
, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы
на
.
Обозначение произведения матрицы на число: =
Где =|
|,
=|
|,
=
,
=1,…,n,
=1,…,m,
.
Пример №12. 3 =
Определение 14
Линейной комбинацией столбцов с коэффициентами
называется выражение вида:
=
Пример №13. Столбец =
является линейной комбинацией столбцов
=
и
=
с коэффициентами 1, 2.
линейно выражается через
и
:
=
+ 2
ó
=
=
+2
.
Аналогично вводится понятие линейной комбинации матриц с коэффициентами
:
=
.
Линейные свойства матриц:
Пусть
=|
|,
=|
|,
=1,…,n,
=1,…,m,
,
,
Тогда:
1.A + B = B + A (коммутативность)
2.(A + B) + C = A + (B + C) (ассоциативность)
3.(A + B) =
A +
B (дистрибутивность)
4.( +
)A =
A +
A (дистрибутивность)
5.()A=
(
A) (ассоциативность)
< Предыдущая | Следующая > |
---|