16. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора

Производная от функции тоже представляет собой некоторую функцию . Ее можно дифференцировать и в результате получается производная второго порядка (вторая производная): . Следующее дифференцирование дает третью производную , четвертую , пятую и т. д. Вообще (N–ой) производной называется производная от (N–1)производной: .

Аналогично вводятся дифференциалы второго, третьего и более высоких порядков: – это второй дифференциал (или дифференциал второго порядка). По определению он равен . Здесь рассматривается как константа, и .

Аналогично, и т. д. Найдем, например, производные и дифференциалы до 4го порядка включительно для :

, , , .

, , , .

Значение производных, как и значения дифференциалов, можно находить в конкретной точке. Например, найдем производные и дифференциалы до 3-го порядка включительно для рассмотренной функции в точке X = 0:

, , ,

, , .

С помощью дифференциалов можно получить формулу для вычисления приращения функции более точную, чем (4). Эта формула называется формулой Тейлора:

(5)

Здесь использовано понятие факториала (!) для сокращенной записи произведения натуральных чисел: .

Обычно формулу Тейлора записывают иначе. Если считать, что , , то . Тогда получается привычная запись формулы Тейлора:

Эта формула представляет дифференцируемую функцию в виде многочлена по степеням , а коэффициенты этого многочлена суть производные от функции при . Практическое применение этой формулы трудно переоценить.

Рассмотрим только один пример на применение формулы Тейлора. Пусть и нас интересует значение при . Примем близкое число 1 в качестве . Тогда будем считать равным . Таким образом, Приращение функции вычислим с помощью формулы Тейлора. Вычисляем производные и дифференциалы высших порядков, считая:

.

Все последующие производные равны нулю и, таким образом, формула Тейлора обрывается.

Наши результаты: .

Таким образом, . Естественно, значение функции с такой точностью редко используется. Обычно оставляют три – пять значащих цифр после запятой. Мы же на основании этого примера убеждаемся в следующем свойстве формулы Тейлора: начиная с некоторого номера слагаемые в формуле быстро убывают. В нашем случае второй дифференциал меньше первого в 80 раз, четвертый меньше третьего в двести раз и т. д. Это означает, что для вычисления значений функций в формуле Тейлора можно просто отбрасывать слагаемые, используя несколько первых. Это же правило имеет место, когда функцию заменяют формулой Тейлора, оставляя одно–два слагаемых. Например, мало отличается от нуля при . Мы использовали соотношение , если нужна большая точность, то, используя формулу Тейлора, получают: или и т. д.

< Предыдущая		Следующая >