12.1. Дифференцирование сложной функции

Сложная функция, как русская матрешка: открываешь одну – внутри другая. Например:  – открываем , получаем аргумент U: , открываем U, получаем аргумент Z: . И только Z оказывается основной элементарной функцией.

Итак: содержит ряд матрешек: ,  – ряд функций, каждая со своим аргументом (здесь синус называется внешней функцией).

Если задана сложная функция Y = F(j(X)), то введя промежуточный аргумент U = j(X), получим две функции Y = F(U), U = j(X). Производная функции F по переменной Х равна произведению производной от внешней функции F по промежуточному аргументу u на производную от U по аргументу X.

Формальное доказательство этого свойства очень просто, если воспользоваться формулой дифференциала: .

Эта формула обладает еще одним замечательным качеством, а именно, из нее можно получить , и это означает, что производная равна самому обыкновенному частному бесконечно малой величины Dy на бесконечно малую величину Dx. И это еще означает, что бесконечно малое Dy и бесконечно малое Dx могут самостоятельно и вполне суверенно перемещаться по пространству математических формул, присоединяясь (путем умножения и даже деления) к другим величинам.

Воспользуемся этим качеством дифференциалов и запишем производную сложной функции :

│умножим и разделим на │.

< Предыдущая		Следующая >