07.2. Второй замечательный предел

Если натуральное число 1 умножить на себя N раз, то в результате получим 1, даже если N будет стремиться к бесконечности.

Если число, меньше 1,скажем число 0,9 возведем в восьмую степень (на калькуляторе наберем 0,9, трижды нажмем клавиши «Х» «=»), то получим 0,98=0,43. Легко проверить, что 0,9n стремится к нулю, если N→∞. Точно также число большее 1, скажем число 1,18=2,14, а (1,1)N→∞, если N→∞. Любое число, меньшее 1, в бесконечной степени дает 0, а большее 1 при возведении в ∞ степень дает ∞. Что будет, если (1 ±a ), где a – бесконечно малая величина, возвести в бесконечно большую степень? Возникает неопределенность вида 1∞. На рис.5 приведен график функции .

Область определения: .

, .

Прямая является асимптотой этого графика. К ней приближаются обе ветви графика функции при удалении на (вправо) и на (влево).

Рисунок 5 – График функции

Неопределенность │1∞│ раскрывает второй замечательный предел:

;

. (3)

Число – иррациональное и такое же важное в практической жизни, что и число . Его значение с десятью верными знаками после запятой: = 2,71828184… Это число является основанием показательной функции , а функция , где некоторая постоянная, описывает многие природные процессы: радиоактивный распад вещества, размножение вируса, вообще образование биологических колоний. С помощью функции образуются новые, так называемые гиперболические функции. Это гиперболический синус , гиперболический косинус, , гиперболический тангенс и котангенс . Графики этих функций, а также их определение и некоторые свойства приводятся в приложении I, §1.5., рис. 1.6.

Кстати, в мире комплексных чисел, а также и функций комплексного переменного гиперболические функции переходят в тригонометрические с таким же названием и наоборот. В нашем реальном мире график косинуса гиперболического описывает дугу равномерно оледеневшего провода провисшего между двумя столбами линии электропередачи.

Логарифмы с основанием называются натуральными и обозначаются . Таким образом, . С помощью второго замечательного предела тоже можно получить эквивалентные функции:

При

.

< Предыдущая		Следующая >