05. Функции и графики

Часто бывает, что в некотором опыте или событии участвует одновременно несколько переменных величин, причем изменение одних сказывается на значении других. Тогда говорят, что между этими величинами есть функциональная зависимость. Например, некоторая порция газа заключена в замкнутом сосуде, и сосуд нагревается. Тогда давление газа внутри сосуда будет изменяться и, таким образом, оказываться функцией температуры. Если же в сосуде окажется течь, то давление будет зависеть еще и от массы газа в сосуде.

Обычно среди функционально зависимых между собой величин можно указать некоторые величины (независимые переменные), значения которых могут выбираться более – менее произвольно, тогда как значение остальных величин (зависимых переменных) определяются значениями других. Мы будем рассматривать только те случаи, когда можно выбрать только одну величину в качестве зависимой. То правило, по которому значениям независимых переменных отвечает числовое значение (единственное) рассматриваемой зависимой переменной, называется функцией. Таким образом, каждый раз, когда нам дан такой закон соответствия, мы можем сказать: вот задана функция.

Следует отметить, что если между величинами установлена функциональная зависимость, то выбор того, где независимые переменные, а где зависимая, является довольно условным. Например, уравнение сферы с центром в начале координат имеет вид: . Тогда говорят, что неявно задана функция, скажем Z, двух переменных X и Y; причем исходя из условия единственного значения функции, можно найти две функции и .

В качестве функции можно выбрать X как функцию двух переменных Y и Z: , или Y, как функцию X и Z.

Функции можно определять по–разному. Например, рассмотрим функцию одной переменной. Ее можно представить аналитически: записать в виде .

Вычислив значения У в конкретных точках можно получить ее таблицу.

X			…
Y			…

Каждая из разностей , ,… называется шагом таблицы. На основании таблицы можно построить график функции.

На рисунке 1.2 в приложении I приведены графики функции при A>0 и A<0. В зависимости от чисел A, b, c график может сжиматься или расширяться, перемещаться вверх–вниз.

Иногда функция задается только таблицей (таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов). В этом случае шаг, как правило, постоянен. В виде таблицы часто представляют значения величины, полученной в результате эксперимента: тогда задают значения одной величины и измеряют значения другой. В этом случае интересно и возможно решить задачу о переходе от таблицы к формуле – к аналитическому представлению.

Иногда функцию задают графиком. При изучении функции двух трех и более аргументов пользуются теми же приемами, что и при изучении функции одной переменной, поэтому удобно абстрагироваться от количества независимых переменных и перейти к понятию функции точки.

< Предыдущая		Следующая >