03. Числовая последовательность и предел переменной величины

Числовой последовательностью называется упорядоченная совокупность числел (элементов), полученных по некоторому правилу: . Она может рассматриваться, как процесс изменения числа в зависимости от места (номера), на котором оно находится.

Очень удобно задавать последовательность формулой общего члена в зависимости от номера N. Например, .

Подставляем вместо N Целые числа 1, 2, 3…, получаем , и т. д.:

Таким образом, последовательность 1, , ,… – образец процесса, в котором номер N члена последовательности принимает целые значения, начиная от единицы, дискретно изменяется, причем N → ∞. Переменная величина – член последовательности – в процессе изменения N безгранично приближается к нулю.

Действительно, начиная с одиннадцатого члена , все последующие становятся меньше 0,05. Нам понятно, что если мы зададим очень маленько число e, то можно будет найти номер члена последовательности, начиная с которого . Таким образом – бесконечно малая при . Иначе можно записать: .

Если записать новую последовательность на базе ранее рассмотренной, в которой будут чередоваться знаки элементов последовательности:
–1, то все рассуждения относительно поведения останутся без изменения. В этом примере совершенно оправдывается применение модуля. Так одиннадцатый член в этом примере отрицательный, , но и все остальные члены последовательности по модулю (т. е. взятые со знаком «+») тоже меньше 0,05, и у нас не будет причин беспокоиться о знаке чисел, которые появляются в последовательности при .

Рассмотрим еще одну последовательность: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415;…

Ряд этих чисел тоже можно (теоретически) продолжить сколь угодно далеко. Это записаны значения π с увеличивающейся точностью. Десятый член этой последовательности А10 = 3,1415926525 помогает запомнить стих М. В.Ломоносова:

Кто и шутя и скоро пожелаетъ

Пи узнать, число уж знает.

Количество букв в каждом слове дает значение очередной цифры в числе π. Глагол «пожелает» приходится писать в орфографии XVІІІ века.

Def: Говорят, что последовательность чисел имеет конечный предел А при , если начиная с некоторого конкретного номера N, каждый член последовательности отличается от предела (т. е. числа A) меньше, чем на . Записывается этот факт так: . На языке математики это определение записывается в виде:

при N>N (1)

В строгом определении предела подчеркивается произвольность и безусловное существование числа N.

Все ранее рассмотренные последовательности имеют предел: он равен 0 для первых двух и числу для третьей.

Последовательность тоже имеет предел, равный 2:

.

Последовательность не имеет предела. Это пример бесконечно большой величины : какое бы большое число мы ни взяли (скажем Б = 1000) можно указать, с какого номера N все члены последовательности будут больше Б (с номера 334). В этом случае .

Для каждого конкретного примера искать предел по определению (1), т. е. решать систему двух неравенств, совсем не просто, поэтому мы воспользуемся конкретными математическими приемами для нахождения различных пределов, используя их свойства.

< Предыдущая		Следующая >