2.1. Формулы Френе. Трёхгранник Френе

В предыдущих параграфах были введены два единичных ортогональных вектора: вектор , направленный по касательной к кривой, и вектор главной нормали , который определён первой формулой Френе (1.9). Введём единичный вектор , ортогональный векторам и , как векторное произведение на

. (2.1)

Нормаль, которая определяется вектором , называется Бинормалью. Очевидно, что получена правая тройка ортогональных векторов. Этот подвижный базис (или репер), который сопровождает точку М при её движении по кривой, называется Подвижным, а также Естественным базисом или Репером Френе (Френе – французский геометр XIX века, который в 1847 году первым написал формулы для производных по длине дуги трёх базисных векторов , , ).

Плоскость, проходящая через вектора и , называется Соприкасающейся, через вектора и – Нормальной, а через вектора и – Спрямляющей. Эти три плоскости образуют так называемый Естественный трехгранник, или Трехгранник Френе (рис. 2.1).

Уравнение (1.9) определяет производную . Для того, чтобы получить производные от векторов и , обратимся к формуле (2.1). Дифференцируя по и используя формулу (1.9), имеем

Отсюда следует, что вектора и ортогональны. Кроме того, ортогонально (см п.3о в 1.2). Таким образом, направление вектора совпадает с направлением вектора главной нормали

. (2.2)

Это Вторая формула Френе, где коэффициент характеризует степень изменяемости вектора по длине дуги, то есть поворот соприкасающейся плоскости. Если , то кривая лежит в этой плоскости. Коэффициент называется кручением.