2.1. Уравнения, не содержащие искомой функции с ее младшими производными

В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение -го порядка

(2.1)

Содержит независимую переменную , неизвестную функцию и её производные , , …, . Существуют частные случаи дифференциальных уравнений, допускающие понижение порядка и тем самым сводящие сложную задачу интегрирования дифференциального уравнения высокого порядка к более простой задаче интегрирования уравнения низкого порядка.

Рассмотрим дифференциальные уравнения, не содержащие искомой функции с ее младшими производными. Пусть дифференциальное уравнение -го порядка не содержит , , , …, и имеет вид

, (2.2)

Где – известная непрерывная функция, интегрируемая в квадратурах. Учитывая, что , и интегрируя по левую и правую части уравнения (2.2), имеем

,

Где – произвольная постоянная.

Повторяя процесс интегрирования, получим:

,

,

.

Таким образом, дифференциальное уравнение -го порядка (2.2) имеет общее решение, содержащее произвольных постоянных , , …, . Этот факт относится ко всем уравнениям -го порядка.

Пример 2.1. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Интегрируя это уравнение, имеем:

, .

Пусть теперь дифференциальное уравнение -го порядка (2.1) не содержит , , , …, , где , а имеет вид

. (2.3)

В этом случае положим , где — новая неизвестная функция. Тогда имеем:

, , …, .

Исходное уравнение примет вид

.

Таким образом, порядок исходного дифференциального уравнения (2.3) понижен на . Пусть его решение имеет вид

.

Поскольку , то, интегрируя полученное для решение, имеем

.

Продолжая этот процесс, получим искомое решение .

Пример 2.2. Найти общее решение уравнения

.

Решение. Полагая , придем к уравнению первого порядка

.

Это линейное уравнение первого порядка. Интегрируя соответствующее однородное уравнение, имеем:

, , , , .

Поэтому полагаем

.

Получим:

, , .

Таким образом,

,

То есть

.

Значит

.

< Предыдущая		Следующая >