Для того, чтобы решить уравнение
Надо искать функцию 
в виде произведения двух пока неизвестных функций от 
, т. е. положить 
, тогда 
После группировки, получим
. (*)
Так как есть произведение двух функций, то одна из них может быть выбрана произвольно, другая же должна определяться уравнением (*).
Выберем 
так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обращалось в нуль, т. е. 
; для этого достаточно, чтобы было каким-либо частным решением. ( Для простоты пусть оно отвечает значению 
).
Уравнение 
есть уравнение с разделяющимися переменными
.
Разделим переменные
.
Проинтегрировав его, найдем . Подставив значение в уравнение (*), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
или 
.
Следовательно, общим решением исходного уравнения будет
.
Пример 1. Решить уравнение
.
Решение. Положим
.
Подставим и 
В данное уравнение
,
Сгруппируем
. (*)
Положим 
или 
.
Разделим переменные:
.
Проинтегрировав, получим частное решение () 
, или 
.
Подставим значение 
В уравнение (*); оно обратится в уравнение
или 
;
, откуда 
И общим решением данного уравнения будет
Пример 2. Решить уравнение и найти частное решение
.
Решение. Положим 
, имеем 
. Подставим выражения и 
В данное уравнение, будем иметь:
Или
. (*)
Функцию 
находим из уравнения
или 
.
Это уравнение с разделяющимися переменными
.
Разделим переменные
.
Проинтегрировав, получим частное решение ()
.
Вычислим интеграл
При 
При 
.
Подставляя значение 
в уравнение (*), получим уравнение
Или 
.
Проинтегрировав, получим значение функции 
:
.
Следовательно, общее решение данного уравнения
.
Используя начальное условие данного уравнения 
, вычислим 
:
или 
.
Таким образом частное решение имеет вид:
.