07. Метод Бернулли

Для того, чтобы решить уравнение

Надо искать функцию в виде произведения двух пока неизвестных функций от , т. е. положить , тогда

После группировки, получим

. (*)

Так как есть произведение двух функций, то одна из них может быть вы­брана произвольно, другая же должна определяться уравнением (*).

Выберем так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обра­щалось в нуль, т. е. ; для этого достаточно, чтобы было каким-либо частным решением. ( Для простоты пусть оно отвечает значению ).

Уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными

.

Разделим переменные

.

Проинтегрировав его, найдем . Подставив значение в уравнение (*), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

или

.

Следовательно, общим решением исходного уравнения будет

.

Пример 1. Решить уравнение

.

Решение. Положим

.

Подставим и В данное уравнение

,

Сгруппируем

. (*)

Положим или .

Разделим переменные:

.

Проинтегрировав, получим частное решение () , или .

Подставим значение В уравнение (*); оно обратится в уравнение

или ;

, откуда

И общим решением данного уравнения будет

Пример 2. Решить уравнение и найти частное решение

.

Решение. Положим , имеем . Подставим выражения и В данное уравнение, будем иметь:

Или

. (*)

Функцию находим из уравнения

или .

Это уравнение с разделяющимися переменными

.

Разделим переменные

.

Проинтегрировав, получим частное решение ()

.

Вычислим интеграл

При

При

.

Подставляя значение в уравнение (*), получим уравнение

Или

.

Проинтегрировав, получим значение функции :

.

Следовательно, общее решение данного уравнения

.

Используя начальное условие данного уравнения , вычислим :

или

.

Таким образом частное решение имеет вид:

.

< Предыдущая		Следующая >