4.3. Уравнение Клеро

Уравнением Клеро называется дифференциальное уравнение вида

. (4.7)

Формально оно является частным случаем уравнения Лагранжа (4.4) при . Полагая , получим

. (4.8)

Дифференцируя это равенство по переменной , имеем:

, ,

То есть

.

Отсюда следует, что либо , либо .

В первом случае имеем . Тогда подстановка в равенство (4.8) дает

. (4.9)

Это общее решение. Итак, общее решение уравнения Клеро (4.7) сразу получается из этого уравнения, если заменить в нем на . Геометрически решение (4.9) представляет собой однопараметрическое семейство прямых.

Во втором случае, подставляя равенство в уравнение (4.8), получим

.

Убедимся, что система равенств

(4.10)

Также дает решение уравнения Клеро (4.7) в параметрическом виде.

Имеем из (4.10):

,

.

Следовательно,

, (4.11)

То есть .

Подставляя , и в исходное уравнение (4.7), получим тождество

.

Решение, которое дается равенствами (4.10), не может быть получено из общего решения (4.9), поэтому оно является особым решением. В то время, как общее решение представляет собой семейство прямых, то особое решение (4.10) представляет собой огибающую этого семейства. Действительно, если семейство прямых (4.9) имеет огибающую, то она находится путем решения системы (3.4), то есть исключения из системы уравнений:

А эта система равносильна системе (4.10).

Пример 4.5. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Общее решение данного уравнения Клеро

.

Найдем огибающую этого семейства:

Отсюда

.

Итак, особое решение существует и имеет уравнение параболы

.

Эта парабола является огибающей для семейства прямых, соответствующего общему решению исходного уравнения.

Примечание. Выражение (4.11) теряет смысл при . В этом случае , значит . Здесь и – любые числа. В этом случае формулы (4.10) дают:

В этом случае особого решения нет, а вместо него имеем единственную точку . Полагая в (4.9) , будем иметь , то есть

.

Итак, если функция линейная, то общее решение уравнения Клеро определяет пучок прямых, а особое решение вырождается в одну единственную особую точку.

< Предыдущая		Следующая >