3.1. Теорема Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка

Интегрирование рассмотренных типов дифференциальных уравнений первого порядка сводится к квадратуре, то есть к вычислению интегралов. Для этих уравнений сам факт нахождения решения служит доказательством его существования и, как правило, единственности при заданном начальном условии. Однако большинство уравнений первого порядка не позволяют найти их решения точно. Такие уравнения можно интегрировать только приближенно одним из численных методов. Но для того, чтобы найти решение хотя бы приближенно, надо знать, что оно существует и при данном начальном условии единственно. Для формулировки условия существования и единственности решения дифференциального уравнения первого порядка введем одно определение.

Функция , заданная в интервале , удовлетворяет в нем Условию Липшица, если существует такое число , что для любых , из будет

Достаточным условием выполнения условия Липшица является существование в интервале непрерывной производной . В этом случае можно положить

Применим к функции теорему Лагранжа

Где . Отсюда

Поскольку , то тем более , а значит . Поэтому

То есть условие Липшица в этом случае выполнено.

Условие Липшица может выполняться и тогда, когда существует не во всех точках интервала . Пусть, например, . В точке функция не существует, но в то же время

Таким образом, условие Липшица выполнено с константой .

Теорема Коши. Пусть в некоторой области плоскости функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной . И пусть – произвольная точка внутри . Тогда существует такой интервал , в котором уравнение

(3.1)

С начальным условием

(3.2)

Имеет решение и это решение единственно.

Задача решения уравнения (3.1) с начальным условием (3.2) называется Задачей Коши. При выполнении условий теоремы Коши через точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3.1).

Пример 3.1. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (2.6)

Для него

А значит

Если и – непрерывные функции, то условия теоремы Коши выполняются, поэтому при любом начальном условии линейное уравнение имеет решение и притом единственное.

Пример 3.2. Возьмем уравнение

Для него

Если , то функция терпит разрыв, а значит, точка с абсциссой не принадлежит области . Именно этим и объясняется то, что начальное условие

Оказывается недопустимым.

Пример 3.3. Возьмем уравнение

Для него получим уравнение (3.1) с

А поэтому

Для любого интервала, содержащего точку , величина не является ограниченной, а значит условие Липшица невыполнимо. Именно поэтому начальному условию

Удовлетворяет бесчисленное множество решений.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши, которое может существовать и без выполнения условий теоремы.

Пример 3.4. Для уравнения

Имеем

В точках оси функции и

Разрывные, причем последняя функция при неограниченна. Но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая

Требование выполнения условия Липшица в теореме Коши является существенным для упрощения доказательства единственности решения. Если это требование не учитывается, то справедлива следующая теорема.

Теорема о существовании решения. Если функция непрерывна в окрестности точки , то задача Коши имеет, по крайней мере, одно решение.

Предположим теперь, что в уравнении (3.1) будет

Тогда

Поэтому можно положить

Рассмотрим вместо уравнения (3.1) уравнение

С начальным условием

Предположим, что для этого уравнения в точке условия теоремы Коши выполнены. Тогда через эту точку проходит единственная кривая и при этом . Но тогда для соответствующего решения исходного уравнения будет .

Итак, в этом случае через точку проходит единственная интегральная кривая уравнения (3.1), но она имеет в этой точке вертикальную касательную.

< Предыдущая		Следующая >