3.3.4. Примеры решения задач по теме «Неявные функции. Производные высших порядков»
Задача 1.
Найти 
в точке (1,0), если
Указание
Воспользуйтесь формулой
Уравнение, задающее неявную функцию.
Ответ: 
Задача 2.
Функция Z = Z(X,Y) задана неявно:
Найти 
Указание
Если Х, У – независимые переменные, а функция Z = Z(X,Y) задана неявно:
То
Найдем полную производную функции F по переменной Х, считая У независимой переменной, Z – неизвестной функцией от Х, и учитывая то, что функция F тождественно равна нулю, следовательно, и любая ее производная тоже равна нулю.
Отсюда
Ответ: 
Задача 3.
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Упростим полученное выражение:
Теперь найдем частную производную этой функции по У:
Ответ: 
Задача 4.
Указание
Продифференцируйте функцию по Х, затем полученное выражение – по У, а затем результат – три раза по Z.
Решение
Ответ: 
Задача 5.
Найти значение параметра А, при котором функция
Удовлетворяет уравнению
Указание
Найдите соответствующие производные 2-го порядка, а затем определите значения А, при которых указанное равенство выполняется в какой-либо конкретной точке (например, при Х = у = 0).
Решение
Поскольку условие
Должно выполняться при любых значениях Х и У, положим Х = у = 0. Тогда
Следовательно, либо указанное равенство выполняется для Всех значений Х, У при А = -1, либо задача не имеет решений. Найдем значение выражения
При А = -1:
Итак, при А = -1 функция
Удовлетворяет уравнению
При всех Х, У.
Ответ: А = -1.
Задача 6.
Найти дифференциал 2-го порядка от функции
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Ответ: 
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
