3.3.2. Производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные функции Z = F (X,Y) являются, в свою очередь,

Функциями переменных Х и У. Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:

Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по Х и по У и получить восемь частных производных 3-го порядка и т. д. Определим производные высших порядков так:

Частной производной N-го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (N – 1)-го порядка.

Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например, ). Докажем это утверждение.

Теорема 3. Если функция Z = F (X,Y) И ее частные производные

определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке

Доказательство.

Рассмотрим выражение

И введем вспомогательную функцию

Тогда

Из условия теоремы следует, что J(Х) дифференцируема на отрезке [X, X+ΔX], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа:

Так как в окрестности точки М определена дифференцируема на отрезке [Y, Y + ΔY], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа:

Тогда

Изменим порядок слагаемых в выражении для А:

И введем другую вспомогательную функцию

Проведя те же преобразования, что и для , получим, что

Следовательно,

В силу непрерывности и

.

Поэтому, переходя к пределу при получаем, что

Что и требовалось доказать.

Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.

< Предыдущая		Следующая >