3.3.1. Неявные функции. Производные высших порядков

Функция У от Х, определяемая уравнением F (X, Y) = 0 , Называется Неявной функцией.

Конечно, далеко не каждое уравнение подобного вида определяет У как однозначную (и, тем более, непрерывную) функцию от Х. Например, уравнение эллипса

Задает У как двузначную функцию от Х:

Условия существования однозначной и непрерывной неявной функции определяются следующей теоремой:

Теорема 1 (без доказательства). Пусть:

1) функция F (X,Y) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике

С центром в точке (Х0 , у0 );

2) F (x0 , y0 ) = 0 ;

3) при постоянном Х F (X,Y) Монотонно возрастает (или убывает) с возрастанием У.

Тогда

А) в некоторой окрестности точки (Х0 , у0 ) Уравнение

F (X, Y) = 0

определяет У как однозначную функцию от Х: Y = F(X);

Б) при Х = х0 эта функция принимает значение У0 : F (X0) = Y0 ;

В) функция F (X) Непрерывна.

Найдем при выполнении указанных условий производную функции Y = F (X) по Х.

Теорема 2. Пусть функция У от Х Задается неявно уравнением

F (X, Y) = 0,

Где функция F (X,Y) удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть, кроме того,

Непрерывные функции в некоторой области D, содержащей точку (х, у), Координаты которой удовлетворяют уравнению

F (X, Y) = 0,

Причем в этой точке

Тогда функция У от Х имеет производную

Доказательство.

Выберем некоторое значение Х и соответствующее ему значение У. Зададим Х приращение DХ, тогда функция Y = F (X) получит приращение DУ . При этом F (X,Y) = 0, F (X+ DX, Y+DY) = 0, поэтому F (X+ DX, Y+DY) – F (X,Y) = 0. Слева в этом равенстве стоит полное приращение функции F (X,Y), Которое можно представить в виде:

Разделив обе части полученного равенства на DХ, выразим из него

В пределе при , учитывая, что

Получим:

Теорема доказана.

Пример. Найдем , если

Найдем

Тогда

< Предыдущая		Следующая >