2.6.2. Необходимое условие экстремума

Ранее было дано определение максимума и минимума функции.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Пусть функция F(X) задана в некоторой окрестности точки Х0. Если Х0 является точкой экстремума функции, то F’ (X0) = 0 или не существует.

Доказательство.

Действительно, производная в точке Х0 либо существует, либо нет. Если она существует, то по теореме Ферма она равна нулю.

Примеры.

1. Функция Y = X² имеет минимум при Х = 0, причем (Х²)′ = 2X = 0 при Х=0.

2. Минимум функции Y = |X| достигается при Х = 0, причем производная в этой точке не существует.

Замечание. Отметим еще раз, что теорема 2 дает Необходимое, но не достаточное условие экстремума, то есть не во всех точках, в которых F ‘(X) = 0, функция достигает экстремума.

Пример. У функции Y = X³ Y ′ = 3X2 = 0 при Х = 0, однако функция монотонно возрастает во всей области определения.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х0 и ее производная в этой точке равна нулю или не существует, точка Х0 называется Критической точкой Функции.

Теорема 2 утверждает, что все точки экстремума находятся в множестве критических точек функции.

< Предыдущая		Следующая >