Функция Y = F(X) называется Возрастающей (убывающей) на [Ab], если
Теорема 1. Если функция F(X), дифференцируемая на [Ab], возрастает на этом отрезке, то 
на [Ab].
Если F(X) непрерывна на [Ab] и дифференцируема на (Ab), причем 
для A < X < B, то эта функция возрастает на отрезке [Ab].
Доказательство.
1. Пусть F(X) возрастает на [Ab]. Тогда при 
Если же 
Следовательно, в обоих случаях
Значит,
Что и требовалось доказать.
2. Пусть
По теореме Лагранжа
Но по условию
Следовательно, F(X) – возрастающая функция.
Замечание 1. Аналогичную теорему можно доказать и для убывающей функции: если F(X) убывает на [Ab], то 
на [Ab]. Если 
на (Ab), то F(X) убывает на [Ab].
Замечание 2. Геометрический смысл доказанной теоремы: если функция возрастает на отрезке [Ab], то касательная к ее графику во всех точках на этом отрезке образует с осью Ох острый угол (или горизонтальна).
Рис. 1
Если же функция убывает на рассматриваемом отрезке, то касательная к графику этой функции образует с осью Ох тупой угол (или в некоторых точках параллельна оси Ох).
Рис. 2