2.6.3. Достаточные условия экстремума

Теорема 3. Пусть функция F(X) непрерывна в некоторой окрестности точки Х0, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки F ‘(X) Сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) если F ‘(X) > 0 при X < X0 и F ‘(X) < 0 при X > X0 , точка Х0 является точкой максимума;

2) если F ‘(X) < 0 при X < X0 и F ‘(X) > 0 при X > X0 , точка Х0 является точкой минимума;

3) если F ‘(X) не меняет знак в точке Х0 , эта точка не является точкой экстремума.

Доказательство.

Справедливость утверждения 3) следует из теоремы 1. Докажем утверждения 1) и 2). По формуле Лагранжа F(X) – F(X0) = F ‘(X)(X – X0), где Х принадлежит окрестности точки Х0, а X лежит между Х и Х0. Если F ‘(X) > 0 при X < X < X0 И F ‘(X) < 0 при Х0 < X < X, приращение функции F(X) – F(X0) < 0 по обе стороны Х0 , То есть в рассматриваемой точке достигается максимум. Если же производная при х = х0 меняет знак с «+» на «-», точка Х0 является точкой минимума. Следовательно, изменение знака производной в точке Х0 является необходимым и достаточным условием наличия экстремума в этой точке.

Теорема 4. Пусть F ‘(X0) = 0 и у рассматриваемой функции существует непрерывная вторая производная в некоторой окрестности точки Х0. Тогда Х0 является точкой максимума, если F’’(X0) < 0, или точкой минимума, если F’’(X0) > 0.

Доказательство.

Докажем первую часть теоремы. Пусть F’’(X0) < 0. Так как по условию F’’(X) непрерывна, существует окрестность точки Х0 , в которой F’’(X) < 0. Вспомним, что F’’(X) = (F ’(X))’ , и из условия (F’(X))’ < 0 следует, что F'(X) Убывает в рассматриваемой окрестности. Поскольку F’(X0) = 0 , F’(X) > 0 при X < X0 и F’(X) > 0 при X > X0. Тогда по теореме 3 точка Х0 является точкой максимума функции, что и требовалось доказать. Утверждение 2) доказывается аналогично.

Теорема 5. Пусть функция Y = F(X) N Раз дифференцируема в точке Х0 и F (K)(X0) = 0 при K = 1,2,…, N-1, а F (N) (X0) Не равна нулю. Тогда, если N – четное число (N = 2M), функция F(X) имеет в точке Х0 экстремум, а именно максимум при F (2M)(X0) < 0 и минимум при F (2M)(X0) > 0. Если же N – нечетное число (N = 2M – 1), то точка Х0 не является точкой экстремума.

Доказательство.

Из формулы Тейлора следует, что

Где X лежит между Х и Х0.

А) Если N = 2M – четное и F (2M)(X0) < 0, то найдется окрестность точки Х0, в которой F (2M) (X) < 0. Пусть Х принадлежит этой окрестности, тогда X тоже ей принадлежит, то есть F (2M)(X) < 0. Но (X – X0)2M > 0 при Х, не равном х0 , поэтому F(X) – F(X0) < 0 во всей рассматриваемой окрестности, следовательно, точка Х0 является точкой максимума.

Б) Если N = 2M – четное и F (2M)(X0) > 0, то таким же образом доказывается, что Х0 – точка минимума.

В) Если N = 2M - 1 – нечетное, то (X – X0)2M-1 имеет разные знаки по разные стороны точки Х0. Поэтому в окрестности этой точки, в которой производная порядка 2M – 1 сохраняет постоянный знак, приращение функции меняет знак при Х = х0. Следовательно, экстремум в этой точке не достигается.

Вывод: проверить наличие экстремума в критической точке можно тремя способами:

1) убедиться, что F’(X) Меняет знак при Х = х0 ;

2) определить знак F’’(X0) ;

3) если F’’(X0) = 0, исследовать порядок и знак производной, не обращающейся в 0 в рассматриваемой точке.

Примеры.

1. Определим тип экстремума функции Y = X³ - 3X + 7 при Х = 1. Точка Х = 1 является критической, так как Y’ = 3X² - 3X = 0 при Х = 1. Так как при X < 1 Y’ < 0, а при X > 1 Y’ > 0, X =1 – точка минимума. Можно было установить этот факт и с помощью второй производной: Y’’ = 6X – 3 = 3 > 0 при Х = 1. Следовательно, функция в этой точке достигает минимума (теорема 4).

2. Исследуем на экстремум функцию Y = X5 + X3. Y’ = 5X4 + 3X² = X²(5X² + 3) = 0 при Х = 0. При этом Y’’ = 20X³ + 6X = 0 при Х = 0, Y’’’ = 60X² + 6 = 6 ≠ 0 при Х = 0. Порядок первой ненулевой производной в точке Х = 0 равен нечетному числу 3, следовательно, по теореме 5 функция не имеет экстремума в этой точке, а так как критическая точка единственна, функция вообще не имеет экстремумов.

< Предыдущая		Следующая >