2.3.2. Свойства производных высших порядков

Основные свойства производных высших порядков следуют из соответствующих свойств первой производной:

1. (Cf(x))(n)=c·f(n)(x).

2. (f(x)+g(x))(n)=f(n)(x)+g(n)(x).

3. Для Y=xm y(n)=n(n-1)…(n-m+1)xm-n. Если M – натуральное число, то при N>M Y(N)=0.

4. Можно вывести так называемую Формулу Лейбница, позволяющую найти производную N-го порядка от произведения функций F(X)G(X):

Заметим, что коэффициенты в этой формуле совпадают с соответствующими коэффициентами формулы бинома Ньютона, если заменить производные данного порядка той же степенью переменной. Для N=1 эта формула была получена при изучении первой производной, для производных высших порядков ее справедливость можно доказать с помощью метода математической индукции.

5. Получим формулу для второй производной функции, заданной параметрически. Пусть X = J(T), Y = Y(T), T0 < T < T. Тогда

Следовательно,

< Предыдущая		Следующая >