1.4.5. Непрерывность элементарных функций

1. Так как функции у=С и у=х непрерывны, то из свойств непрерывных функций следует непрерывность любого многочлена и непрерывность дробно-рациональной функции при всех значениях х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в 0.

2. Для доказательства непрерывности показательной функции воспользуемся тем, что

То есть ах непрерывна при х=0. Но

Следовательно,

И показательная функция непрерывна при всех значениях аргумента. Отсюда следует непрерывность гиперболических функций.

3. Непрерывность логарифмической функции на любом конечном отрезке следует из теоремы 4, так как логарифмическая функция является обратной к показательной.

4. Докажем непрерывность функции y=sinx. sinx < x для , тогда |sinx| < |x| для любого х. Отсюда

Что доказывает непрерывность функции при выборе e = d = |x - x0|.

Из непрерывности функции y = sinx, в свою очередь, следует непрерывность остальных тригонометрических функций:

И т. д. и непрерывность обратных тригонометрических функций.

Следовательно, все элементарные функции непрерывны во всей области своего определения.

< Предыдущая		Следующая >