1.4.4. Непрерывность обратной функции

Лемма. Если функция f(x) строго возрастает на [ab] и f(a)=A, f(b)=B, то существует обратная функция f -1(x), строго возрастающая на [AB].

Доказательство.

Докажем существование обратной функции, то есть ее однозначность. Действительно, если существует у=f(x1)=f(x2), то это противоречит условию монотонности f(x): если х1 < x2, то f(x1) < f(x2), а если x1 > x2, то f(x1) > f(x2).

Докажем возрастание f -1 на [AB]. Пусть y1 = f(x1) < y2 = f(x2). Тогда, если х1 = х2, то f(x1) = =f(x2); если х1 > x2, f(x1) > f(x2). Оба эти случая противоречат выбору у1 и у2. Значит, х1 < x2, то есть f -1(y1)<f -1(y2). Лемма доказана.

Теорема 4. Если функция f(x) строго возрастает и непрерывна на [ab] и f(a)=A, f(b)=B, то множеством значений f(x) является отрезок [AB] , и обратная функция f-1(x) является непрерывной и строго возрастающей на [AB].

Доказательство.

Неравенство A = f(a) < f(x) < f(b) = B для a < x < b следует из возрастания f(x). С другой стороны, любое значение из интервала (АВ) будет достигаться при некотором х из интервала (аb) по теореме 3. Возрастание обратной функции следует из леммы. Остается доказать непрерывность f -1. Если допустить, что на (АВ) существует точка разрыва, то из условия a ≤ f -1 ≤ b следует, что может наблюдаться только разрыв 1-го рода. Но, если односторонние пределы в точке такого разрыва не равны между собой, то обратная функция не может принимать значений, лежащих между односторонними пределами (так как функция монотонна, и левосторонний предел может быть только меньше правостороннего), а это противоречит доказанному утверждению, что обратная функция принимает все значения из интервала [AB]. Значит, f -1 непрерывна на [AB]. Теорема доказана.

< Предыдущая		Следующая >