4.1. Экстремум функции двух переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума

Пусть функция двух переменных задана в некоторой области .

Точка называется Точкой максимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство (рис. 7).

Точка называется Точкой минимума функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек этой окрестности, отличных от , выполняется неравенство (рис. 8).

Как и в случае функции одной переменной, точка максимума (или минимума) не следует смешивать с точкой, в которой функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение в области .

Значение функции в точке максимума (точке минимума) называют Максимумом (Минимумом) функции или экстремумом.

Теорема (необходимый признак существования экстремума). Если есть точка экстремума функции , то

В предположении, что указанные частные производные существуют в точке .

Таким образом, Обращение в нуль в точке Частных производных первого порядка функции (если они существуют) является Необходимым условием существования в точке экстремума этой функции.

Функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция , очевидно, имеет минимум в точке , но в этой точке частные производные и не существуют.

Точки, в которых частные производные первого порядка , обращаются в ноль или не существуют, называются Критическими точками этой функции.

Из изложенного выше следует, что точка экстремума функции следует искать среди ее критических точек. Однако не всякая критическая точка будет точкой экстремума функции.

Теорема (достаточный признак существования экстремума). Пусть - критическая точка функции .

Обозначим , , и составим .