3.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть поверхность задана уравнением

,

Левая часть которого является функцией, дифференцируемой в некоторой области.

Все касательные, проведенные в точке к линиям, лежащим на поверхности и проходящим через точку , расположены в одной плоскости, которую называют Касательной плоскостью к поверхности в точке .

Прямая, проходящая через точку перпендикулярно касательной плоскости, называется Нормалью к поверхности в точке (рис.5).

Так как касательная плоскость перпендикулярна (см. п.3.2), то вектор направлен вдоль нормали и, поэтому может быть принят в качестве ее направляющего вектора.

Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид

.

Канонические управления нормали к поверхности в точке :

.

Если поверхность задана уравнением , то уравнение касательной плоскости в точке запишется в виде

,

А каноническое уравнение нормали – в виде

.

Пример 18. составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке .

Решение. Найдем частные производные функции И вычислим их значения в указанной точке:

, ,

, .

Значение .

Запишем управление касательной плоскости к данной поверхности в точке :

.

Запишем уравнение нормали к поверхности в точке :

.

< Предыдущая		Следующая >