3.2. Градиент функции

При изучении скалярных полей наряду с функций рассматривается некоторый вектор, тесно связанный с этой функцией, - градиент скалярного поля.

Градиентом в точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , называется вектор, равный

Таким образом, каждой точке скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией , соответствует не только значение этой функции, но и вполне определенный вектор .

Между градиентом функции в данной точке и производной по направлению в той же точке имеется связь, которая устанавливается следующей теоремой.

Теорема. Проекция вектора На единичный вектор равна производной функции по направлению :

Доказательство. Пусть . Из векторной алгебры известно, что проекция какого-либо вектора на другой вектор равна скалярному произведению этих векторов.

Так как , , то

Учитывая, что производная по направлению выражает скорость изменения скалярного поля в этом направлении, можно сказать, что проекция на вектор равна скорости изменения поля в направлении вектора .

Обозначим через угол между единичным вектором и . Тогда .

Поэтому .

Если направления векторов и совпадают (), то производная по направлению имеет, очевидно, наибольшее значение, равное .

Таким образом, есть вектор, указывающий Направление наибольшего возрастания поля в данной точке и имеющий Модуль равный скорости этого возрастания.

Рассмотрим кривую , лежащую на поверхности уровня и проходящую через точку . Градиент функции в точке обладает следующими свойствами: перпендикулярен к вектору , направленному по касательной к кривой в точке .

В случае плоского скалярного поля, заданного дифференцируемой функцией двух переменных , градиент определяется формулой

Его связь с производной по направлению выражается равенством

Где - угол между единичным вектором и . Вектор перпендикулярен к касательной, проведенной к линии уровня в точке .

Пример 16. Найти наибольшую скорость возрастания функции

в точке .

Решение. Наибольшая скорость возрастания функции равна модулю градиента этой функции. Найдем градиент функции :

В точке имеем .

Тогда наибольшая скорость возрастания функции равна

Пример 17. Найти скорость изменения скалярного поля, определяемого функцией в точке в направлении касательной, проведенной к параболе в этой точке в сторону возрастания координаты , и наибольшую скорость изменения поля в этой точке.