2.8. Частные производные высших порядков
Если функция имеет непрерывные частные производные
,
,
То они снова являются функциями переменных и
, и если эти функции дифференцируемы в точке
, то от каждой из них можно снова находить частные производные по
и
. В результате получим вторые частные производные, которые обозначаются так:
;
;
;
.
Производные и
называются Смешанными – они получаются последовательным дифференцированием функции
сначала по
, затем по
или наоборот.
Производные второго порядка можно снова дифференцировать, получим частные производные третьего порядка. Из будет уже восемь:
;
;
;
;
;
;
;
.
Вообще, частное производной -ого порядка называется частная производная от какой-либо частной производной
-ого порядка.
Например, есть производная
-ого порядка.
Здесь дифференцируется сначала
Раз по
, потом
- по
. Для функций большего числа переменных частные производные высшиш порядков определяются аналогично.
Пример 12. .
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Замечаем, что результат дифференцирования в подчеркнутых производных не зависит от порядка, в котором происходит это дифференцирование. И это не случайно, о чем говорит следующая теорема.
Теорема. Если функция и ее частные производные
,
,
и
определены и непрерывны в точке
и в некоторой ее окрестности, то в этой точке вторые смешанные производные равны между собой, т. е.
|
(10) |
Следствие. При непрерывности соответствующих частных производные результат повторного дифференцирования функции двух независимых переменных не зависит от порядка дифференцирования.
Например, .
Пример 13. Дана функция .
Найти частные производные первого и второго порядка. Убедиться, что смешанные производные равны.
- производная по
найдена в предположении, что
- постоянная величина в момент дифференцирования.
- производная по
найдена в предположении, что
- постоянная величина.
,
,
. Действительно,
.
Пример 14. Проверить, что функция удовлетворяет уравнению
.
Решение.
(
,
- постоянные),
(
,
- постоянные),
(
,
- постоянные).
Суммируем найденные производные:
,
Что и требовалось доказать.
< Предыдущая | Следующая > |
---|