2.5. Производная сложной функции

Пусть , причем , , т. е. зависит от и через посредство двух других функций и .

В этом случае функция называется Сложной функцией переменных и . Подставляя и в выражение для , получим непосредственную зависимость от переменных и

(1)

Однако и в теории, и в приложениях важно уметь находить частные производные и , не пользуясь равенством (1).

Теорема. Если функции и дифференцируемы в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке , причем

(2)

Формулы (2) обобщаются на случай любого числа независимых переменных. В частности, если и , то функция будет сложной функцией одной переменной и ее полная производная по этой переменной будет