2.3. Свойства дифференцируемой функции

2.3.1. Непрерывность дифференцируемой функции

Теорема 1. Всякая функция , дифференцируемая в точке , непрерывна в этой точке.

2.3.2. Существование частных производных

Теорема 2. Ели функция в точке дифференцируема (т. е. имеет дифференциал ), то она имеет в этой точке и частные производные и , причем

, .

Доказательство. По условию , где . Полагая , получим и , откуда , т. е. .

Аналогично .

Как и в случае одной переменной, приращение аргумента равно его дифференциалу, т. е. , , поэтому полный дифференциал имеет вид

Или

.

Сформулированные теоремы выражают только необходимый признак дифференцируемости функции и ни одна из них не содержит достаточного признака дифференцируемости.

Так, из существования частных производных не всегда следует дифференцируемость функции. Более того, даже наличие в точке производной по любому направлению еще не влечет дифференцируемости функции в этой точке.

2.3.3. Достаточный признак дифференцируемости

Оказывается, чтобы из существования частных производных следовала дифференцируемость функции в данной точке, достаточно потребовать их непрерывность в этой точке.

Теорема 3. Ели функция имеет частные производные в некоторой окрестности точки , непрерывные в самой точке , то она дифференцируема в этой точке.

Все сказанное легко распространяется на функции трех и большего числа переменных. Так, например, для дифференцируемой функции трех переменных полное приращение выражается формулой

При условии (),

А ее полный дифференциал имеет вид

.

< Предыдущая		Следующая >