2.2. Дифференциал функции

Рассмотрим частное приращение по переменной :

.

Если существует , то на основании теории функции одной переменной это приращение равно

, где .

Линейная относительно часть этого приращения называется частным дифференциалом функции по переменной и обозначается символом .

Если , то он будет главной частью приращения, эквивалентной самому приращению. Таким образом,

, где .

Как следует из геометрического смысла дифференциала функции одной переменной, геометрически частный дифференциал есть приращение аппликаты касательной в точке к линии , , лежащей на поверхности (см. рис. 4).

Аналогично определяется частное приращение и частный дифференциал по переменной :

, где и .

Его геометрический смысл аналогичен смыслу (см. рис. 4).

Рассмотрим точки и .

Разность называется Полным приращением Функции в точке .

Более кратко будем записывать его в виде .

Функция называется Дифференцируемой В точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде

,

Где и - некоторые выражения, не содержащие и , т. е. постоянные относительно и , а является бесконечно малой более высокого порядка, чем

, т. е. .

Здесь - расстояние между точками и .

Линейная относительно и часть полного приращения дифференцируемой в точке функции называется Полным дифференциалом Этой функции в точке и обозначается символом .

Таким образом, если функция дифференцируема в точке , то

,

Причем

и .

< Предыдущая		Следующая >