2.1. Частные и полное приращение. Частные производные

Рассмотрим функцию двух переменных и ее геометрический образ (рис. 4).

Рассмотрим точку и значение функции в этой точке .

Зафиксируем значение одного из ее аргументов, например , а переменной Зададим приращение . Получим точку .

Тогда функция , очевидно, получит приращение

(см. рис. 4).

Если существует , то он называется Частной производной Функции По переменной в точке и обозначается одним из символов

.

Разность Называется Частным приращением по функции в точке .

Учитывая обозначения, можно записать

.

Теперь зафиксируем значение переменной , а зададим приращение. Получим точку и приращение функции

(см. рис. 4).

Если существует , то он называется Частной производной Функции По переменной в точке и обозначается одним из символов

.

Имеем

,

Где - Частное приращение по переменной функции в точке .

А теперь рассмотрим приращение обоих аргументов и : и . Получим точку .

Тогда - называют Полным приращением Функции в точке (см. рис. 4).

Значение производной в фиксированной точке Обозначается тем же символом с указанием точки.

Например,

Или

, .

Любой из этих символов следует понимать как результат подстановки координат точки в выражения для или .

Из определения Частной производной и рис. 4 следует ее Механический смысл, как Скорость изменения функции При изменении соответствующего аргумента, и Геометрический смысл, как Тангенса угла, образованного касательной к линии

или

В точке с положительным направлением соответствующей оси.

Частные производные и вычисляются по правилам и формулам, справедливым для функции одной переменной, при условии, что в момент дифференцирования по одной из переменных вторая переменная рассматривается как постоянная величина.

Пример 6. Найти частные производные функции

.

Решение.

,

.

Пример 7. Найти частные производные функции

.

Решение.

,

.

Пример 8. Найти частные производные функции

.

Решение.

,

.

< Предыдущая		Следующая >