1.2. Предел функции двух переменных. Непрерывность

При рассмотрении предела функции одной переменной было введено понятие окрестности точки. Под окрестностью точки Принимался интервал, содержащий эту точку. При введении понятия предела функции двух переменных будем рассматривать окрестность точки в плоскости .

Окрестностью точки Называется внутренность круга с центром в этой точке. Если радиус круга равен , то говорят о -окрестности точки . Очевидно, что любая точка , принадлежащая -окрестности точки , находится от этой точки на расстоянии, меньшем .

Число называется Пределом функции двух переменных при , если для любого числа найдется такая -окрестность точки , что для любой точки этой окрестности (за исключением, быть может, точки ) имеет место неравенство , или .

При этом пишут или , так как при , очевидно, , .

Заметим, что если число Есть предел функции , то как это следует из определения предела, разность является бесконечно-малой, когда точка Произвольным образом (по любому направлению) неограниченно приближается к точке .

Пример 5. Вычислить .

Решение. Предел функции вычисляется при .

Следует обратить внимание на то, что функция не определена в точке , но имеет предел при .

Функция двух переменных называется Бесконечно-малой при , , если ее предел равен нулю, т. е. .

Понятие Непрерывности функции нескольких переменных устанавливается с помощью понятия предела.

Функция нескольких переменных называется Непрерывной в точке , если .

Заметим, что функция , непрерывная в точке , должна быть определена в этой точке и некоторой ее окрестности (иначе нельзя было бы осуществить переход к пределу). Точка , в которой функция нескольких переменных непрерывна, называется Точкой непрерывности функции.

Для непрерывных в точке функций справедлива следующая теорема.

Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то в этой точке непрерывны и их сумма , разность и произведение ; если, кроме того, , то частное также есть непрерывная функция в точке .

Если условие непрерывности нарушено (или функция не определена, или не существует предел, или не выполняется равенство), точка называется Точкой разрыва. Точки разрыва могут быть изолированными или образовывать Линии разрыва.

Функция Называется Непрерывной в области, если она непрерывна в каждой точке этой области.

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области , то она в этой области:

1. ограничена: ;

2. имеет наименьшее и наибольшее Значения:

;

3. принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенное между и .

< Предыдущая		Следующая >