11.3. ИДЗ–3. Приложения производной

1 Найти глобальный экстремум функции на отрезке .

1.1 .

1.2 .

1.3 .

1.4 .

1.5 .

1.6 .

1.7 .

1.8 .

1.9 .

1.10 .

1.11 .

1.12 .

1.13 .

1.14 .

1.15 .

1.16 .

1.17 .

1.18 .

1.19 .

1.20 .

1.21 .

1.22 .

1.23 .

1.24 .

1.25 .

1.26 .

1.27 .

1.28 .

1.29 .

1.30 .

2 Решить геометрические задачи:

2.1 Найдите прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.

2.2 При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?

2.3 В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник наибольшей площади.

2.4 В эллипс вписать прямоугольник со сторонами, параллельными осям эллипса, площадь которого наибольшая.

2.5 Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную заданную длину и составляет с плоскостью основания угол . При каком значении объём пирамиды является наибольшим?

2.6 В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объёма.

2.7 В данный шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объёма.

2.8 В шар радиусом R Вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

2.9 Около шара радиуса r описать конус наименьшего объёма.

2.10 Через вершину М квадрата CEMK провести прямую, пересекающую лучи CK и CE в точках A и B так, чтобы площадь DABC была наименьшей.

2.11 Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?

2.12 Найти наибольший объём конуса с образующей L.

2.13 В прямой круговой конус с углом в осевом сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с наибольшей полной поверхностью.

2.14 Найти кратчайшее расстояние точки M(P,P) от параболы .

2.15 Найти наибольшую хорду эллипса , , проходящую через вершину .

2.16 Через точку эллипса провести касательную, образующую с осями координат треугольник наименьшей площади.

2.17 Найти основания и высоту равнобочной трапеции, которая при данной площади S имеет наименьший периметр; угол при большем основании трапеции равен .

2.18 Какова должна быть высота равнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра D, чтобы площадь треугольника была наибольшей?

2.19 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 см и углом 30° вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

2.20 Требуется огородить забором прямоугольный участок земли площадью в 294 м2 и разделить затем этот участок забором на две равные части. При каких линейных размерах участка длина всего забора окажется наименьшей?

2.21 Прямоугольный лист жести имеет линейные размеры дм. В четырех его углах вырезают одинаковые квадраты и делают открытую коробку, загибая края под прямым углом. Какова наибольшая вместимость полученной коробки?

2.22 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 24 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотенузе. Каковы должны быть длины сторон прямоугольника, чтобы его площадь была наибольшей?

2.23 Две стороны параллелограмма лежат на сторонах данного треугольника, а одна из его вершин принадлежит третьей стороне. При каких условиях площадь параллелограмма является наибольшей?

2.24 Среди равнобедренных треугольников с данной боковой стороной найти треугольник наибольшей площади.

2.25 Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины по 10 см. Найти размер большего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.

2.26 Найти длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24 и 30 см и имеющего с ним общий прямой угол.

2.27 Величина угла при основании равнобедренного треугольника равна . При каком значении отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим?

2.28 Каким должен быть радиус основания и высота цилиндрического бака, чтобы при данном объеме на его изготовление пошло наименьшее количество листового металла?

2.29 В прямоугольный треугольник с гипотенузой 12 см и углом 60° вписан прямоугольник, основание которого расположено на гипотенузе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы площадь его была наибольшей?

2.30 Боковые стороны и меньшее основание трапеции имеют одинаковые длины по 15 см. Найти размер меньшего основания, при котором площадь трапеции была бы наибольшей.

3 Решить физические задачи:

3.1 Тяжелую балку длиной 13 м, расположенную вертикально, опускают на землю так, что нижний её конец прикреплен к вагонетке, а верхний удерживается канатом, намотанным на ворот. Канат сматывается со скоростью 2 м/мин. С каким ускорением откатывается вагонетка в момент, когда она npoйдёт расстояние 5 м?

3.2 Антенна радара находится на расстоянии 1000 м по горизонтали от стартовой площадки и все время направлена на ракету, которая поднимается с постоянным ускорением 20 м/с2. Какова угловая скорость антенны в момент, когда ракета находится не высоте 1000 м?

3.3 Лошадь бежит по окружности со скоростью 20 м/с. В центре окружности находится фонарь. Забор касается окружности в точке, из которой лошадь начинает бег. С какой скоростью перемешается тень лошади вдоль забора в момент, когда лошадь пробежит 1/8 окружности?

3.4 Резервуар, имеющий форму полушара радиуса , заполняется водой. Скорость заполнения резервуара равна . Определите скорость подъёма воды в резервуаре в момент, когда вода поднялась на высоту .

3.5 Длина вертикально стоящей лестницы равна 5 м. Нижний конец лестницы начинает отодвигаться от стены с постоянной скоростью 2 м/с. Чему равно ускорение верхнего конца лестницы в момент, когда нижний конец отодвинулся от стены на 1 м?

3.6 Канат висячего моста, имеющего форму цепной линии, т. е. графика функции , прикреплен к вертикальным опорам, отстоящим друг от друга на расстоянии 200 м. Самая нижняя точка каната находится на 40 м ниже точки подвеса. Чему равен угол между канатом и опорой в точке подвеса (для определения A можно воспользоваться равенством )?

3.7 В точках A и B находятся источники света силы и соответственно, 27. Найдите на отрезке наименее освещенную точку (освещенность прямо пропорциональна силе света источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния до него).

3.8 Бревно длиной 10 м с помощью подъёмного крана поднимается вертикально вверх за один из его концов. При этом второй конец волочится по земле со скоростью 0,05 м/с. С какой скоростью перемещается верхний конец бревна в момент, когда его нижний конец находится на расстоянии 3 м от вертикали?

3.9 Мальчик надувает воздушный шар, радиус которого возрастает с постоянным ускорением 0,2 см/с2. С какой скоростью увеличивается объём шара в момент, когда площадь его поверхности равна См2 (радиус шара в начальный момент времени равнялся нулю)?

3.10 Человек, рост которого 1,7 м, удаляется от точечного источника света, расположенного на высоте 3 м, с постоянным ускорением 0,1 м/с2. С каким ускорением перемещается тень его головы?

3.11 Скорость тела, движущегося по окружности радиуса 1 м, меняется по закону . Найдите величину ускорения тела в момент времени c.

3.12 Зависимость пути, пройденного телом, движущимся по окружности радиуса , от времени задается уравнением (). Чему равна величина скорости тела в момент, когда оно пройдёт путь ?

3.13 Частица движется с постоянной по величине скоростью по кривой . Найдите величину ускорения частицы в момент, когда .

3.14 При изобарном нагревании n молей идеального газа его объём с течением времени меняется по закону (, A, B). С каким ускорением меняется температура газа T, если его давление ?

3.15 Зависимость электрического заряда, проходящего через проводник с сопротивлением R, от времени имеет вид . Исследуйте на экстремум функцию , выражающую зависимость от времени мгновенной тепловой мощности, выделяемой в проводнике.

3.16 Предмет, находившийся первоначально на расстоянии от собирающей линзы, начинают удалять от неё с постоянным ускорением A. Чему равна скорость движущегося изображения в момент, когда предмет находится от линзы на расстоянии ?

3.17 Дождевая капля, начальная масса которой , падает под действием силы тяжести, равномерно испаряясь, так, что убыль массы пропорциональна времени с коэффициентом пропорциональности K. В какой момент времени после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей (сопротивлением воздуха пренебречь)?

3.18 Груз весом P, лежащий на горизонтальной плоскости, требуется сдвинуть с места приложенной силой. При каком наклоне этой силы к горизонту величина её будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен ?

3.19 Найдите максимальную возможную температуру молей идеального газа, если его давление Р и объём V связаны зависимостью (, , ).

3.20 Электрические заряды +Q1, -Q2, +Q3 расположены на одной прямой так, что заряд -Q2 находится между зарядами +Q1 и +Q3 на расстоянии А от заряда +Q1. На каком расстоянии от заряда -Q2 должен находиться заряд +Q3, чтобы его потенциальная энергия была минимальной (потенциал поля точечного заряда Q равен )?

3.21 Определить наименьший возможный объём V , занимаемый одним молем идеального газа, если его температура Т и давление P связаны соотношением (, , ).

3.22 Магнитный поток Ф через неподвижный контур, имеющий сопротивление R, изменяется с течением времени T по закону , где A положительная постоянная. В какой момент времени сила индукционного тока достигает максимального значения?

3.23 Найдите максимально возможную температуру одного моля идеального газа, если его давление и объём Связаны соотношением (, ).

3.24 Над центром круглого стола радиуса R висит лампа. При какой высоте лампы над столом освещенность края стола будет наилучшей (освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника света)?

3.25 Определите наибольшее возможное давление одного моля идеального газа, если температура и объём газа связаны соотношением ().

3.26 Резервуар, имеющий форму усеченного конуса, заполняется водой. Скорость заполнения резервуара равна 1 м3/мин. Определите скорость подъёма воды в резервуаре в момент, когда он заполнится на половину своего объёма (высота резервуара равна 3 м, радиус нижнего основания 2 м, верхнего – 5м).

3.27 Известно, что, мощность , отдаваемая электрическим элементом, определяется по формуле , где - постоянная электродвижущая сила элемента, – постоянное внутреннее сопративление, – внешнее сопративление. Каким должно быть внешнее сопративление , чтобы мощность была наибольшей?

3.28 На прямой между двумя источниками света силы и найти наименее освещенную точку, если расстояние между источниками равно 24 м (освещенность прямо пропорциональна силе света источника и обратно пропорциональна квадрату расстояния до него).

3.29 Бревно длиной 15 м с помощью подъёмного крана начинают поднимать вертикально вверх за один из его концов. При этом второй конец волочится по земле со скоростью 0,09 м/с. С какой скоростью перемещается верхний конец бревна в момент, когда его нижний конец находится на расстоянии 5 м от вертикали?

3.30 Зависимость пути, пройденного телом, движущимся по окружности радиуса R, от времени задается уравнением (). Чему равна величина скорости тела в момент, когда оно пройдёт путь ?

4 Провести полное исследование и построить график функции:

4.1 а) ; б) , .