08.4. Решение типовых примеров

1 Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) находим , определяем точки разрыва, нули, точки пересечения графика функции с осью , периодичность, симметрию. Функция определена при тех значениях , для которых, как следует из определения арксинуса, выполнено неравенство

Данное неравенство равносильно неравенству , которое верно для любых вещественных .

Итак, .

Функция непрерывна в любой точке (как частное двух непрерывных функций). Поэтому функция также непрерывна в любой точке (как суперпозиция непрерывных функций).

Функция непериодическая.

Поскольку

То функция является нечетной. Поэтому вместо всей области определения достаточно рассмотреть полупрямую .

При имеем . Других нулей функция не имеет. На полупрямой функция является положительной;

2) асимптоты графика функции. В силу непрерывности функции на , график функции не имеет вертикальных асимптот. Для нахождения наклонной асимптоты при вычислим следующие пределы:

=0,

Отсюда следует, что прямая является горизонтальной асимптотой при .

Аналогично устанавливается, что прямая – горизонтальной асимптотой при ;

3) точки возможного экстремума и интервалы монотонности функции.

Найдем точки возможного экстремума на полупрямой . Вычислим производную функции при :

Отсюда видно, что производная не обращается в нуль ни в одной точке. Так как , , то точка является точкой излома. Значит, имеем только одну точку возможного экстремума .

Промежутки монотонности функции определяются знаком производной: при , при .

Знак производной при переходе через точку меняется с плюса на минус. Поэтому в точке функция имеет локальный максимум, причем .

Отметим, что в точке функция непрерывна, а ее производная имеет разрыв 1-го рода. Значит, точка графика является угловой точкой;

4) промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба. Вторая производная при имеет вид

Направление выпуклости определяется знаком второй производной:

– при , значит график функции на этом промежутке выпуклый,

– при , значит график функции на этом промежутке вогнут.

Так как вторая производная обращается в нуль лишь при и при переходе через точку меняет знак, то в точке график функций имеет перегиб.

Результаты исследования функции заносим в таблицу 8.2.

Таблица 8.2 – Результаты исследования функции

0		1
2	+	Не сущ.	–
0	–	Не сущ.	+
0
Точка Перег.		Угл. точ.

Исходя из результатов, содержащихся в таблице 8.2, строим график данной функции на полупрямой .

Используя нечетность функции, достраиваем ее график на всей области определения (рисунок 8.1).

Рисунок 8.1 – График функции

2 Исследовать функцию, заданную параметрическими уравнениями, и построить график

, . (8.3)

Решение. 1) функции , определены на множестве

Поскольку

, ,

То – вертикальная асимптота кривой.

Найдем односторонние пределы в точках и :

, ,

, .

Отсюда следует, что при и возможны наклонные асимптоты.

Так как при

, ,

То прямая – наклонная асимптота.

Так как при

, ,

То прямая – наклонная асимптота.

Итак,

;

2) так как

, ,

То график функции симметричен относительно начала координат . Поэтому рассмотрим график функции только на множестве ;

3) на множестве имеем при , при и ;

4) найдем производные функций , :

, .

На множестве и при

0,47 и 1,51.

Тогда , и , , т. е. имеем точки возможного экстремума и ;

5) найдем производные и :

, .

Отсюда при , при ;

6) составим таблицу результатов исследования (таблица 8.3):

Таблица 8.3 – Результаты исследования функции

		0,47			1,51
		0,6			-0,7
		0,3			2,3
Знак	+	+	+	–	–	–

7) строим часть кривой, соответствующую множеству . Далее, используя симметрию кривой, построим всю кривую (рисунок 8.2).

Рисунок 8.2 – График функции (8.3)

3 Исследовать функцию заданную параметрическими уравнениями и построить график

, . (8.4)

Решение. 1) функции , определены на .

При этом

, , , .

Таким образом, возможны наклонные асимптоты.

Так как

То наклонных асимптот нет;

2) свойствами симметрии и периодичности функция не обладает;

3) имеем при и ; при , и ;

4) найдем производные функций , :

, .

Имеем при , при и . Тогда точки возможного экстремума , ;

5) найдем производные и:

, , .

Отсюда при , при ;

6) составим таблицу результатов исследования (таблица 8.4);

Таблица 8.4 – Результаты исследования функции (8.4)

		-1		1
		-3		1
		-2		2
Знак	+	+	+		-

7) строим график функции. Первая производная не определена в точке , поэтому точка является угловой точкой графика.

Рисунок 8.3 – График функции ,

4 Исследовать функцию, заданную неявно и построить ее график

(8.5)

Решение. 1 способ. Разрешая данное уравнение относительно , получим .

Функции и симметричны относительно оси , то исследование можно провести для функции . Эта функция определена на отрезке , т. е. . Функция равна нулю при , , . На области определения функция является нечетной.

Находим производные функции :

=, =.

Точками возможного экстремума являются точки:

, , , .

Точки и являются граничными точками области определения . Определим характер точек и с помощью второй производной:

== 4 > 0,

== – 4 < 0.

Следовательно, является точкой минимума, – точкой максимума. Значения функции в этих точках соответственно равны:

== –,

== .

В точке вторая производная обращается в нуль. При имеем <0, при имеем >0. Следовательно, точка является точкой перегиба графика функции .

График функции изображен на рисунке 8.4. Отображая построенный график симметрично относительно оси , получим график исходной функции (рисунок 8.5). Видно, в точке график пересекает себя, поэтому является точкой самопересечения.

Рисунок 8.4 – График функции

Рисунок 8.5 – График функции

2 способ. Полагая из уравнения , получим . Отсюда . Поскольку , то график функции симметричен относительно оси , и поэтому будем рассматривать случай .