04.1. Теорема Ролля

Одним из важнейших классов (множеств) функций, изучаемых в курсе математического анализа и имеющих первостепенное значение при решении задач практического характера, является класс – непрерывных на отрезке функций. Класс дифференцируемых функций является подмножеством множества . Дифференцируемые функции представляют особый интерес, так как большинство задач техники и естествознания приводят к исследованию функций, имеющих производную. Также дифференцируемые функции обладают некоторыми общими свойствами, среди которых важную роль играют Теоремы о среднем. В каждой из этих теорем утверждается существование на отрезке такой точки, в которой исследуемая функция обладает тем или иным свойством.

Теорема 1 (Ролля) Пусть функция удовлетворяет следующим условиям на отрезке : определена и непрерывна на ; дифференцируема на ; . Тогда существует, по крайней мере, одна точка , такая, что .

Рисунок 4.1 – Геометрический смысл

Теоремы Ролля

Геометрический смысл теоремы Ролля. Если непрерывная на отрезке и дифференцируемая в интервале функция принимает на концах этого отрезка равные значения, то на графике этой функции найдется хотя бы одна такая точка с абсциссой , в которой касательная параллельна оси (рисунок 4.1).

Физический смысл теоремы Ролля. Пусть – время, а – координаты точки, движущейся по прямой, в момент времени . В начальный момент точка имеет координату , далее движется определенным образом со скоростью . В момент времени она возвращается в точку с координатой (так как ). Ясно, что для возвращения в точку , она должна остановится в некоторый момент времени (прежде чем повернуть назад), т. е. в некоторый момент скорость .

< Предыдущая		Следующая >