4.5. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень ξ Уравнения

F(X) = 0, (4.13)

Отделен на отрезке [A, B], причем первая и вторая производные F¢(X) и F¢¢(X) непрерывны и сохраняют определенные знаки при . Найдя какое-нибудь N-ое приближение корня , мы можем уточнить его по методу Ньютона следующим образом. Пусть

ξ = Xn + Hn, (4.14)

Где Hn - величина малая. Отсюда по формуле Тейлора получим (ограничиваясь первым порядком малости относительно Hn)

F(Xn + Hn) = F(Xn) + Hn F¢(Xn) = 0. (4.15)

Следовательно,

Hn = - F(Xn) / F¢ (Xn). (4.16)

Подставив полученное выражение в формулу (4.14), найдем следующее (по порядку) значение корня:

(4.17)

Проиллюстрируем графически нахождение корня методом Ньютона (рис. 4.3.).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 4.3. Уточнение корня методом касательных

Если в качестве начального приближения выбрать точку Х0 = В0 , то процесс быстро сходится. Если же выбрать точку Х0 = А0, то Х1 [A, b], И процесс нахождения корня расходится. Рекомендуется: в качестве Х0 выбрать точку, где F(x)·f¢¢(x) > 0.

© 2011-2024 Контрольные работы по математике и другим предметам!