4.4. Метод хорд

Пусть дано уравнение

F(X) = 0, (4.4)

Где функция F(X) определена и непрерывна на интервале [A, B] и выполняется соотношение F(A)·F(B) < 0.

Пусть для определенности F(A) < 0, F(B) > 0. Тогда вместо того, чтобы делить отрезок [A, B] пополам, более естественно разделить его в отношении
- F(A):F(B). При этом новое значение корня определяется из соотношения

X1 = A + H1, (4.5)

Где

. (4.6)

Далее этот прием применяем к одному из отрезков [A, X1] или [X1, B], на концах которого функция F(X) имеет противоположные знаки. Аналогично находим второе приближение X2 и т. д. (см. рис. 4.2.).

Геометрически этот способ эквивалентен замене кривой Y = F(X) хордой, проходящей через точки А(A, F(A)) и B(B, F(B)).

Рис. 4.2. Уточнение корня уравнения методом хорд

Действительно, уравнение хорды АВ имеет вид

(4.7)

Учитывая, что при Х = х1 => y = 0, получим

(4.8)

Полагая, что на отрезке [A, B] вторая производная F''(X) Сохраняет постоянный знак, метод хорд сводится к двум различным вариантам:

1. Из рис. 4.2,A видно, что неподвижна точка А, а точка B приближается к ξ, то есть

(4.9)

Преобразовав выражение (4.9), окончательно получим

(4.10)

2. Из рис. 4.2,B видно, что точка B остается неподвижной, а точка А приближается к ξ, тогда вычислительная формула примет вид

(4.11)

Таким образом, для вычисления корня уравнения имеем две различные вычислительные формулы (4.10) и (4.11).

Какую точку брать за неподвижную?

Рекомендуется в качестве неподвижной выбирать ту точку, в которой выполняется соотношение

F(X)·F”(X) > 0. (4.12)

< Предыдущая		Следующая >