3.7. Метод Зейделя

Этот метод представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Основная его идея заключается в том, что при вычислении (K+1)-го приближения неизвестной XI учитываются уже вычисленные ранее (K+1)-е приближения (X1 X2, ..., Xi-1).

Пусть дана приведенная линейная система:

(I = 1, 2, …N). (3.35)

Выберем произвольно начальные приближения корней , стараясь, конечно, чтобы они в какой-то мере соответствовали неизвестным X1, x2, x3, ..., xn.

Предположим, что K-е приближение корней известно, тогда в соответствии с идеей метода будем строить (K+1) – е приближение по следующим формулам:

(3.36)

(K = 0, 1, 2,...).

Обычно процесс Зейделя сходится быстрее, чем метод Якоби. Бывает, что процесс Зейделя сходится, когда простая итерация расходится и, т. п. Правда, бывает и наоборот. Во всяком случае, достаточные условия сходимости для метода Якоби достаточны и для сходимости метода Зейделя. Если выполняется достаточное условие сходимости для системы (3.35) – по строкам, то в методе Зейделя выгодно расположить уравнения (3.36) так, чтобы первое уравнение системы имело наименьшую сумму модулей коэффициентов:

. (3.37)

Пример 3.6.

Для того чтобы обеспечить достаточные условия сходимости итерационного процесса (преобладающие значения диагональных элементов), преобразуем исходную систему и приведем к удобному виду. Чтобы дальнейшие преобразования были понятны, обозначим уравнения исходной системы буквами А, Б, В и Г соответственно:

Х1= -0.2Х2 +0.1Х3 – 0.2Х4 – 0.4; (Г)

Х2 = -0.2Х1 – 0.2Х3 + 0.2; (А – Б)

Х3 = 0.2Х1 – 0.4Х2 + 0.2х4 – 0.4; (Б)

Х4 = 0.333х1 - 1.111. (2А – Б + 2В – Г)

Преобразованную систему будем решать методом Зейделя, тогда, с учетом требования (3.37), окончательно получим:

В качестве нулевого приближения (K = 0) возьмем . Зададим количество итераций K = 2 и все результаты вычислений сведем в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Итерация, k	Значения неизвестных	Невязки
X1	X2	X3	X4	ε1	ε2	ε3	ε4
0	-0.4	0.2	-0.4	-1.111	-2.711	-1.911	0.444	-1.422
1	-0.263	0.36	-0.846	-1.244	-0.309	1.0	0.734	0.446
2	-0.329	0.422	-0.874	-1.199	0.095	-0.000	0.009	0.029

В приведенной таблице кроме значений неизвестных на каждом шаге оценивались Невязки. Вспомним, что корнями уравнения называются такие значения неизвестных, которые превращают его в тождество. Так как мы используем итерационный (приближенный) метод, значения неизвестных вычисляем приближенно (три, четыре знака после десятичной точки), то, подставляя значения неизвестных в Исходную систему, справа получим не ноль, а некоторые значения, называемые Невязкой первого, второго, … уравнений на K –ом шаге.

Анализ данных, приведенных в табл. 3.1, показывает, что итерационный процесс быстро сходится, о чем свидетельствуют как быстрое уменьшение невязок, так и уменьшение изменений неизвестных (см. формулу (3.31) метода Якоби).

< Предыдущая		Следующая >