34. Метод параллельных сечений
Если задано уравнение той или иной поверхности, то возникает задача исследования ее формы и расположения относительно координатных осей.
Для решения этой задачи обычно применяют метод параллельных сечений, который состоит в том, что поверхность пересекается несколькими плоскостями, параллельными плоскостям координат. Форма и размеры полученных сечений позволяют выяснить форму самой поверхности.
Рассмотрим этот метод на примерах.
Пример 1. Исследовать сечения эллипсоида плоскостями
Решение. Рассмотрим сначала сечение эллипсоида плоскостями , где
Подставляя в уравнение эллипсоида, получим
или
,
Отсюда
Обозначив получим в сечении эллипс
С полуосями .
При получаем:
Таким образом наибольший эллипс получается в сечении плоскости . Если поднимать или опускать эту плоскость вдоль оси
Параллельно плоскости
, то размеры сечений уменьшаются до тех пор, пока при
не превратятся в точку
. При дальнейшем увеличении
плоскость эллипсоида пересекать уже не будет, так как корень, входящий в выражение для
, станет мнимым.
В сечении плоскостями, параллельными , будут также получаться эллипсы. В частности, в сечении координатными плоскостями
и
получатся наибольшие по размерам эллипсы
и
.
Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что эллипсоид является овальной поверхностью (рис.32).
Пример 2. Исследовать форму и расположение относительно системы координат поверхности
Решение. Используем метод сечений. Положим в данном уравнении , получим
.
Отсюда следует, что должна быть величиной неотрицательной. Обозначая
, получим в сечении плоскостью
линию
Эта линия является окружностью радиуса с центром на оси
. Следовательно, данная поверхность является поверхностью вращения вокруг оси
. Чтобы выяснить, вращением какой линии она получается, пересечем поверхность плоскостью
. В сечении получится парабола на плоскости
:
Вершина ее лежит в точке
, а направлена парабола в отрицательную сторону оси
.
|
Пример 3. Показать, что уравнение определяет однополостный гиперболоид вращения вокруг оси
.



|








В случае, когда в уравнении отсутствуют члены с произведением координат
, это уравнение приводится к каноническому виду выделением полных квадратов по
И параллельным переносом осей координат.
Точки пересечения прямой с поверхностью второго порядка ищутся следующим образом: уравнение прямой приводится к параметрическому виду:
Затем значения подставляют в уравнение поверхности. Из полученного квадратного уравнения для
находим значения параметра
, отвечающие точкам пересечения. Если корни этого уравнения совпали, то прямая является касательной к поверхности, если корни мнимые – точек пересечения нет.
Пример 4. Какую поверхность определяет уравнение
?
Решение. Чтобы привести данное уравнение к каноническому виду, выделяем полные квадраты по :
Или
Сравнивая полученное уравнение с каноническими уравнениями, видим, что это есть уравнение однополостного гиперболоида, центр которого смещен в точку . Обозначим
И запишем уравнение
.
Новые оси Параллельны старым. Относительно этих осей гиперболоид имеет вид, представленный на рис.39.
Пример 5. Найти точки пересечения эллипсоида с прямой
при
. При каком значении
прямая касается эллипсоида?
Решение. Запишем уравнение данной прямой в параметрическом виде
Подставив значения в уравнение эллипсоида
Получим квадратное уравнение для :
Из которого находим значения параметра , соответствующее точкам пересечения прямой с эллипсоидом:
При получим два значения:
.
Следовательно, точки пересечения следующие:
.
Если прямая касается эллипсоида, то должно быть , а это произойдет в том случае, если подкоренное выражение
равно нулю. Следовательно, при
=0,
. Т. е. при
прямая является касательной.
< Предыдущая | Следующая > |
---|