30. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
Случай 1. Прямая и плоскость
пересекаются под углом
. Определим угол
.
(1)








Обозначим через угол между векторами
и
, тогда
если
- острый угол (3)
И
если
- тупой угол. (4)
В первом случае (3)
Во втором случае (4)
. (6)
Так как положительно в обоих случаях
Так как
(7)
То
(8)
По этой формуле определяется синус искомого угла, а затем и сам угол.
Пример. Найти угол между прямой
Решение. Вычислим коэффициенты направляющего вектора данной прямой
:
(4)
Координаты нормального вектора данной плоскости (3) есть числа
(5)
Т. е. .
Подставляя значения (4) - (5) в формулу
Случай 2. Прямая и плоскость
параллельны в том и только в том случае, когда направляющий вектор
данной прямой
перпендикулярен к нормальному вектору
данной плоскости
, тогда скалярное произведение векторов равно нулю, т. е.
Полученное равенство есть Условие параллельности прямой и плоскости.
Случай 3. Прямая и плоскость
перпендикулярны.
;
Прямая перпендикулярна к плоскости
в том и только в том случае, когда направляющий вектор
данной прямой
коллинеарен нормальному вектору
данной плоскости
, т. е. соответственные координаты этих векторов должны быть пропорциональны, т. е.
Это соотношение есть Условие перпендикулярности прямой и плоскости.
Пример 1. Найти точку пересечения прямой и плоскости
Решение. Приведем данное уравнение прямой к параметрическому виду
Подставим выражения для и
в уравнение плоскости:
Откуда получим . Подставим значение
в параметрическое уравнение прямой и получим координаты искомой точки пересечения прямой и плоскости
Искомая точка
Пример 2. Найти проекцию точки
на плоскость
Решение. Вектор
перпендикулярен к данной плоскости, и в то же время будет направляющим вектором перпендикуляра
. Поэтому каноническое уравнение перпендикуляра
будет иметь вид
Параметрическое уравнение прямой
Подставляя значения ,
из полученных равенств в данное уравнение плоскости:
Найдем Значение
отвечает точке
, как точка пересечения прямой
с данной плоскостью. Следовательно, координаты точки
получим, подставив
в параметрическое уравнение прямой
:
Следовательно, координаты точки .
< Предыдущая | Следующая > |
---|