20. Особые случаи положения плоскости относительно системы координат

Общее уравнение плоскости

(1)

Упрощается в следующих случаях:

Случай 1. Свободный член

, (2)

Т. е. уравнение плоскости имеет вид

(3)

Когда плоскость проходит через начало координат . Действительно, значения координат удовлетворяют уравнению (3). В уравнении плоскости, не проходящей через начало координат, свободный член .

Случай 2. Коэффициент при аппликате равен нулю:

(4)

Т. е. уравнение плоскости имеет вид

(5)

Когда плоскость параллельна оси (или проходит через ). Действительно, коэффициенты в уравнении (1) есть координаты вектора , нормального к плоскости . Когда плоскость параллельна оси , вектор

Перпендикулярен к этой оси и, следовательно,

Случай 2а. Коэффициент при равен нулю

, (4а)

Т. е. уравнение (1) имеет вид

(5а)

Когда плоскость параллельна оси .

Случай 2б. Коэффициент при аргументе Равен нулю

(4б)

Т. е. уравнение (1) имеет вид

(5б)

Когда плоскость параллельна оси .

Случай 3. Коэффициенты и при координатах в уравнении (1) равны нулю:

(6)

Т. е. уравнение плоскости имеет вид

(7)

Или

(8)

Когда плоскость параллельна плоскости . Плоскость , параллельная , параллельна как оси (случай 2а), так и оси (случай 2б), следовательно имеют место равенства (4а) и (4б).

Случай 3а. Уравнение плоскости имеет вид , когда плоскость параллельна плоскости .

Случай 3б. Уравнение плоскости имеет вид , когда плоскость параллельна плоскости .

Случай 4. Коэффициенты , и свободный член в уравнении (1) равны нулю одновременно: , т. е. уравнение имеет вид:

(9)

Когда плоскость совпадает с плоскостью. Точно так же уравнение плоскости имеет вид

, (10)

Когда плоскость совпадает с , и

(11)

Когда плоскость совпадает с .

Пример 1. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось И через точку .

Решение. В общем уравнении плоскости, проходящей через ось Должно быть , т. е. такая плоскость задается уравнением

Точка ,по условию, лежит на этой плоскости, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости откуда . Подставив значение A в уравнение плоскости, получим искомое уравнение

Пример 2. Точка - основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Найти уравнение плоскости.

Решение. По условию, радиус-вектор перпендикулярен плоскости, а его координаты равны координатам точки , т. е. . Таким образом, известны вектор , перпендикулярный плоскости, и точка , лежащая на ней. По формуле найдем уравнение искомой плоскости:

или .

< Предыдущая		Следующая >