17. Нецентральные кривые второго порядка
Кривая второго порядка называется нецентральной, если она или не имеет центра симметрии, или же имеет бесконечно много центров симметрии.
Рассмотрим кривую второго порядка
(1)
Где и
. Для определенности будем считать, что
,
(2)
Кроме того, предположим, что , в противном случае мы бы имели пару параллельных прямых.
Дополняя в уравнении (1) члены с до полного квадрата, будем иметь
Или, полагая
(3)
Получим
. (4)
|
Кривая (4) называется Параболой (рис.16); точка




(5)
Если поменять местами оси и
, то каноническое уравнение параболы примет вид
(6)
Это уравнение параболы с вертикальной осью (рис.17 а)).
|
|
|





(7)
С другой стороны расстояние этой точки до директрисы равно
Таким образом, парабола представляет собой множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).
Пример 1. Составить каноническое уравнение эллипса, зная, что его большая полуось , а эксцентриситет
Найти расстояние между фокусами эллипса.
Решение. Воспользуемся формулой, выражащающей эксцентриситет через отношение полуосей:
или
Откуда
В данном случае
Следовательно, каноническое уравнение эллипса
Так как , то
;
и расстояние между фокусами
Пример 2. Асимптоты гиперболы имеют уравнения а расстояние между фокусами равно
. Написать ее каноническое уравнение.
Решение. Разрешим уравнение асимптот относительно И, сравнив с общей формулой асимптот, найдем отношение
к
:
Кроме того, т. е.
Так как для гиперболы
то для нахождения
и
получим систему уравнений
Решая систему найдем . Следовательно, каноническое уравнение гиперболы имеет вид
Пример 3. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси
. Написать ее уравнение.
Решение. Так как парабола симметрична относительно оси и проходит через точку A c положительной абсциссой, то она имеет вид
. Подставляя координаты точки
в уравнение такой параболы, получим
, т. е.
Следовательно, искомое уравнение , фокус этой параболы
, уравнение директрисы
< Предыдущая | Следующая > |
---|