15. Центральные кривые второго порядка

Рассмотрим уравнение кривой второго порядка (1)

без члена с произведением координат и .

Дополним члены, содержащие и До полных квадратов. Будем иметь

(2)

Полагая

(3)

, (4)

Получаем

. (5)

Точка есть центр симметрии кривой (5). Параллельные осям координат И прямые являются осями симметрии кривой (5).

Действительно, если точка лежит на кривой (5), то симметричная ей относительно прямой точка также лежит на этой кривой. Аналогичным свойством обладает прямая .

В дальнейшем будем предполагать, что центр кривой находится в начале координат, т. е. . Тогда уравнение кривой примет вид

. (6)

Определение 1. Кривая второго порядка (6) называется эллипсом (т. е. принадлежит эллиптическому типу), если коэффициенты А и С имеют одинаковые знаки, т. е.

. (7)

Будем предполагать, что и . Возможны три случая:1) , 2) и 3) .

В первом случае, имеем действительный эллипс

(8)

Где числа

, (9) Называются полуосями эллипса.

Рис.14

Уравнение (8) называется Каноническим уравнением эллипса с полуосями

(рис.14). Точки

называются Вершинами эллипса и отрезки

- его Осями.

Отметим, что из уравнения (8) имеем При получаем Окружность

Во втором случае, , кривая (6) представляет собой точку (вырожденный эллипс).

В третьем случае, , кривая (6) не имеет действительных точек; ее условно называют мнимым эллипсом.

Определение 2. Кривая второго порядка называется Гиперболой (т. е. кривой гиперболического типа), если коэффициенты и имеют противоположные знаки, т. е.