13. Расстояние точки до прямой

Рассмотрим кривую , заданную общим уравнением

(1)

Рис.12

и некоторую точку . Под расстоянием точки От прямой понимается длина перпендикуляра , опущенного из точки На прямую (рис.20). Уравнение перпендикуляра можно записать в виде уравнения прямой, проходящей через точку

Так как , то , а . Следовательно, уравнение перпендикуляра имеет вид

или . (2)

Основание перпендикуляра удовлетворяет его уравнению (2); будем иметь

(3)

И, следовательно,

(4)

Где - коэффициент пропорциональности.

Поэтому

. (5)

С другой стороны, учитывая, что точка лежит на прямой , из (4) имеем

Получаем

Следовательно,

(6)

Таким образом, в силу формулы (5) имеем

(7)

Разделив обе части уравнения (1) на , получим уравнение

(8)

Такое уравнение прямой называется Нормированным.

Из формулы (7) получаем правило: чтобы определить расстояние точки от прямой, нужно в левую часть нормированного уравнения этой прямой подставить координаты данной точки и взять абсолютное значение полученного результата.

Пример 1. Найти точку , симметричную точке относительно прямой

Решение. Симметричные точки и расположены на одном перпендикуляре к данной прямой на одинаковом расстоянии от нее. Угловой коэффициент данной прямой . Угловой коэффициент перпендикулярной к ней прямой Уравнение перпендикуляра найдем по формуле

или .

Найдем теперь точку пересечения данной прямой с перпендикулярной, решая их уравнения:

точка .

Так как точка С является серединой отрезка , то, зная точки и , находим координаты искомой точки :

Таким образом, искомая точка имеет координаты .

Пример 2. Найти прямую, пересекающую прямые и в точках и так, что серединой отрезка является данная точка (см. рис.).

Решение. Искомая прямая проходит через точку , поэтому ее уравнение запишем в виде

или .

Для нахождения используем то условие, что точка Делит отрезок пополам. Так как искомая прямая пресекает данные в точках и , то их координаты будут найдены из следующих систем уравнений:

.

Но поскольку неизвестно, то из этих систем координаты точек и выразятся через . Достаточно выразить через абсциссы И Точек и . Для этого, исключая из каждой системы , получим

и .

По формуле деления отрезка пополам полусумма этих значений абсцисс должна давать абсциссу середины отрезка, т. е.

откуда .

Таким образом, искомая прямая имеет уравнение

< Предыдущая		Следующая >