40. Лекция 10. Понятие линейного оператора

Основные понятия:

Матрица перехода; линейное преобразование; собственное значение матрицы; собственный вектор матрицы; диагонализация матрицы; ортогональная матрица; характеристический многочлен.

Пусть в пространстве R имеются два базиса: старый и новый . Каждый из векторов нового базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов старого базиса:

Полученная система означает, что переход от старого базиса к новому задается Матрицей перехода:

,

Причем, коэффициенты разложения новых базисных векторов по старому базису образуют столбцы этой матрицы.

Матрица — неособенная, так как в противном случае ее столбцы (а следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от нового базиса к старому базису осуществляется с помощью обратной матрицы .

Найдем зависимость между координатами вектора в разных базисах. Пусть рассматриваемый вектор имеет координаты относительно старого базиса и координаты относительно нового базиса, т. е.:

Подставив значения из системы в левую часть этого равенства, получим после преобразований:

Т. е. в матричной форме: или

< Предыдущая		Следующая >