32. Лекция 8. Понятие евклидова пространства

Основные понятия:

Евклидово пространство; –мерный вектор; неравенство Коши-Буняковского; коллинеарные векторы; неколлинеарные векторы; сонаправленные векторы; противоположно направленные векторы; линейная комбинация векторов; линейно зависимые векторы; линейно независимые векторы; размерность линейного пространства; базис векторного пространства.

Декартово произведение множества действительных чисел само на себя состоит из всевозможных упорядоченных числовых пар. Это множество обозначают и его можно отождествить с плоскостью. Множество состоит из упорядоченных троек и представляет собой трехмерное пространство. Если осуществить декартово произведение на себя раз, можно получить множество всех точек -мерного пространства . Каждый элемент пространства представляет собой последовательность чисел и записывается в виде . Число называется первой координатой -мерного вектора , – второй координатой и т. д., а число – размерностью вектора . В ряде случаев в пространстве –мерных векторов также бывает возможно определить операцию скалярного произведения векторов и через операции над их координатами.

В общем случае и – это –мерные векторы, т. е. , и . Их скалярное произведение равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т. е. . Длиной –мерного вектора называется число . Скалярное произведение называется скалярным квадратом вектора и обозначается . Поскольку скалярный квадрат является суммой квадратов координат вектора , то его значение будет неотрицательным, причем тогда и только тогда, когда все координаты этого вектора равны нулю, т. е. вектор – нулевой.

Пространство –мерных векторов, в котором определена операция скалярного произведения, называется Евклидовым пространством.

Теорема. Если и – это –мерные векторы евклидова пространства, то справедливо неравенство:

Доказательство: Рассмотрим вектор , где – любое действительное число. Поскольку , то на основании свойств скалярного произведения можно записать:

Если предположить, что , то справедливо следующее:

Доказанное неравенство называется Неравенством Коши-Буняковского. Причем, равенство имеет место тогда и только тогда, когда векторы и линейно зависимы. В общем случае, угол между векторами и можно определить как решение уравнения:

.

Таким образом, в евклидовом пространстве –мерных векторов скалярное произведение любых двух векторов и равно:

.

Теорема. Ненулевые –мерные векторы и равны тогда и только тогда, когда угол между этими векторами равен нулю и длины их равны.

Доказательство:

Необходимость:

Достаточность:

Пусть и

< Предыдущая		Следующая >