87. Базис и ранг системы векторов. Теорема о базисах

Пусть V векторное пространство над полем Р, S - система векторов из V.

Определение 1. Базисом системы векторов S называется такая упорядоченная линейно независимая подсистема B1, B2, ..., BR системы S, что любой вектор системы S линейная комбинация векторов B1, B2, ..., BR.

Определение 2. Рангом системы векторов S называется число векторов базиса системы S. Обозначается ранг системы векторов S символом R = rangS.

Если S = {0}, то система не имеет базиса и предполагается, что rangS = 0.

Пример 1. Пусть дана система векторов A1 = (1,2), A2 = (2,3), A3 = (3,5), A4 = (1,3). Вектора A1 , A2 образуют базис данной системы, так как они линейно независимы (см. пример 3.1) и A3 = A1 + A2 , A4 = 3A1 - A2 . Ранг данной системы векторов равен двум.

Теорема 1 (теорема о базисах). Пусть S - конечная система векторов из V , S ≠{0}. Тогда справедливы утверждения.

1° Любую линейно независимую подсистему системы S можно дополнить до базиса.

2° Система S обладает базисом.

2° Любые два базиса системы S содержат одинаковое число векторов, т. е. ранг системы не зависит от выбора базиса.

4° Если R = rangS, то любые r линейно независимых векторов образуют базис системы S.

5° Если R = rangS, То любые k > r векторов системы S линейно зависимы.

6° Любой вектор A € S единственным образом линейно выражается через вектора базиса, т. е., если B1, B2, ..., BR базис системы S, то

A = A1B1 + A2B2 +...+ ARBR ; A1, A2, ...,AN € P, (1)

И такое представление единственно.

В силу 5° базис это Максимально линейно независимая подсистема системы S, а ранг системы S число векторов в такой подсистеме.

Представление вектора A в виде (1) называется Разложением вектора по векторам базиса, а числа a1, a2, ..., ar называются Координатами вектора A В данном базисе.

Доказательство. 1° Пусть B1, B2, ..., BK - линейно независимая подсистема системы S. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора нашей подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через вектора B1, B2, ..., BK , то обозначим его через BK+1 . Тогда системы B1, B2, ..., BK , BK+1 - линейно независима. Если каждый вектор системы S Линейно выражается через вектора этой подсистемы, то по определению она является базисом системы S.

Если имеется вектор в системе S , который линейно не выражается через B1, B2, ..., BK , BK+1, то повторим рассуждения. Продолжая этот процесс, мы либо придем к базису системы S , либо увеличим число векторов в линейно независимой системе на единицу. Так как в системе S конечное число векторов, то вторая альтернатива не может продолжаться бесконечно и на некотором шаге получим базис системы S.

2° Пусть S конечная система векторов и S ≠{0}. Тогда в системе S есть вектор B1 ≠ 0, который образует линейно независимую подсистему системы S . По первой части его можно дополнить до базиса системы S . Таким образом система S обладает базисом.

3° Допустим, что система S имеет два базиса:

B1, B2, ..., BR , (2)

C1, C2, ..., CS , (3)

По определению базиса система векторов (2) линейно независима и (2) Í S . Далее по определению базиса каждый вектор системы (2) линейная комбинация векторов системы (3). Тогда по основной теореме о двух системах векторов R £ S. Аналогично доказавается, что S £ R. Из этих двух неравенств следует R = S.

4° Пусть R = rangS, A1, A2, ..., AR - линейно независимая подсистема S. Покажем, что она является базисом систем S. Если она не является базисом, то по первой части ее можно дополнить до базиса и получим базис A1, A2, ..., AR, AR+1,..., AR+T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

5° Если K векторов A1, A2, ..., AK (K > R) системы S - линейно независимы, то по первой части эту систему векторов можно дополнить до базиса и получим базис A1, A2, ..., AK, AK+1,..., AK+T , содержащий более чем R векторов. Это противоречит доказанному в третьей части.

6° Пусть B1, B2, ..., BR базис системы S. По определению базиса любой вектор A € S есть линейная комбинация векторов базиса:

A = a1B1 + a2B2 +...+ arBR.

Доказывая единственность такого представления допустим противное, что есть еще одно представление:

A = b1B1 + b2B2 +...+ brBR.

Вычитая равенства почленно находим

0 = (a1 - b1)B1 + (a2 - b2)B2 +...+ (ar - br)BR.

Так как базис B1, B2, ..., BR линейно независимая система, то все коэффициенты ai - bi =0; I = 1, 2, ..., R. Следовательно, ai = bi ; I = 1, 2, ..., R и единственность доказана.

< Предыдущая		Следующая >