86. Ранг системы векторов и ранг матрицы. Основная теорема о двух системах векторов

Теорема 1. Пусть даны две системы векторов A1, A2, ..., AK, и B1, B2, ..., BM, которые обладают свойствами:

1) первая система линейно независима;

2) каждый вектор первой системы линейная комбинация векторов второй системы.

Тогда k £ m, т. е. число векторов первой системы не больше числа векторов второй системы.

Доказательство. Доказательство проводим методом математической индукции по числу векторов второй системы, т. е. по M.

Пусть M=1. Докажем, что K=1. Допустим противное, что K>1. Тогда по второму условию каждый вектор системы A1, A2, ..., AK линейно выражается через вектор B1, т. е. AI = aIBI ; I=1,2,...,K, где все числа aI ≠ 0 ; I=1,2,...,K. Действительно, в противно случае какой-нибудь вектор AI = 0 и по свойству система A1, A2, ..., AK линейно зависим, что противоречит условию. Тогда из первых двух равенств первой системы получаем, что

A2A1 - a1A2 = a2a1B1 - a1a2B1 = 0×B1 = 0.

Отсюда вектора A1, A2 образуют линейно зависимую подсистему системы векторов A1, A2, ..., AK, что противоречит свойству. Установленное противоречие доказывает справедливость теоремы при M=1.

Предположим, что утверждение теоремы справедливо для любой системы второго вида, содержащей M - 1 вектор, и докажем его для системы содержащей M векторов. По второму условию имеем систему K равенств :

A1 = a11B1 + a12B2 +...+ a1m-1BM-1 + a1mBM,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

AK-1 = ak-11B1 + ak-12B2 +...+ ak-1m-1BM-1 + ak-1mBM,

AK = ak1B1 + ak2B2 +...+ akm-1BM-1 + akmBM.

Если все числа aIm = 0 ; I=1,2,...,K, То из системы равенств (1) следует, что каждый вектор системы A1, A2, ..., AK линейная комбинация векторов системы B1, B2, ..., BM-1. По индуктивному предположению K £ M - 1 < M, Что и требовалось доказать.

Пусть теперь среди чисел aIm ; I=1,2,...,K , есть неравное нулю. Пусть например aKm ≠ 0 , так как в противном случае равенства в системе (1) можно переставить местами. Теперь исключим вектор BM из первых K - 1 равенств системы (1). Для этого к I-му (I=1,2,...,K-1) равенству системы (1) почленно прибавим K-е равенство, умноженное на число . После этих преобразований первые K-1 равенств системы (2) перепишутся в виде:

С1 = b11B1 + b12B2 +...+ b1m-1BM-1 ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2)

СK-1 = bk-11B1 + bk-12B2 +...+ bk-1m-1BM-1 ,

Где СI = AI - × aK , ; i = 1, 2, ..., m-1; j = 1, 2, ..., k-1.

Рассмотрим две системы векторов С1, С2, ..., СK-1, и B1, B2, ..., BM-1. Покажем, что первая система векторов линейно независима. Действительно, из равенства

G1С1 +g2С2 + ...+ gk-1CK-1 = 0,

Получаем

G1(A1 - × aK) +g2(A2 - × aK) + ...+ gk-1(AK-1 - × aK) = 0,

Откуда

G1A1 +g2A2 + ...+ gk-1AK-1 + × aK = 0.

Так как система A1, A2, ..., AK линейно независима, то все числа g1, g2, ..., gk-1 равны нулю. Поэтому система векторов С1, С2, ..., СK-1 линейно независима. В силу равенств (2) каждый ее вектор линейная комбинация системы векторов B1, B2, ..., BM-1. Тогда по индуктивному предположению K - 1£ M - 1 и K £ M. 

< Предыдущая		Следующая >